Seja
.
Mostre que
Sugestão: Complete quadrados para mostrar que
, para todo
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem a função
e precisa mostrar que o domínio dela é todo o
menos o ponto
. Aqui, o assunto principal é domínio de funções logarítmicas e pra resolver isso, vamos precisar entender como completar quadrados para mostrar que a expressão dentro do logaritmo é sempre maior que zero, exceto em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo só está definido para argumentos positivos. Então, queremos garantir que
.
Para facilitar essa análise, vamos completar o quadrado na expressão
. Completar quadrados é uma técnica que ajuda a reescrever expressões quadráticas de uma forma que facilita a identificação de seus valores mínimos ou máximos.
Vamos reescrever
de uma maneira mais amigável:
Aqui, completamos o quadrado no termo
adicionando e subtraindo
.
Agora, observamos que:
A soma de dois termos que são sempre maiores ou iguais a zero também será maior ou igual a zero. Portanto:
Agora, vamos ver quando essa expressão é igual a zero. Para isso:
Como a soma de dois termos não-negativos é zero somente quando cada termo é zero, temos:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Então, a única solução é
e
, ou seja,
.
Resposta
Portanto, o domínio de
é todo
menos o ponto
, ou seja:
Exercícios relacionados
Encontre os valores de
e
de forma que o plano
seja tangente ao parabolóide de equação
no ponto cuja projeção no eixo
é o ponto
.
Verifique se existe as derivadas parciais no ponto ( 0,0 ) em cada caso:
Resp.: Existe.
Mostre que a função
tem derivadas parciais contínuas em
, porém, as derivadas parciais mistas não são aí contínuas.
A temperatura em cada ponto de uma placa de metal é dada por
Encontre a equação da isoterma que passa pelo ponto
e o gradiente neste ponto. Esboce um desenho de ambos no mesmo sistema de coordenadas, mostrando o aspecto geométrico; Resp: (a)
.