Seja .
Mostre que Sugestão: Complete quadrados para mostrar que , para todo .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem a função e precisa mostrar que o domínio dela é todo o menos o ponto . Aqui, o assunto principal é domínio de funções logarítmicas e pra resolver isso, vamos precisar entender como completar quadrados para mostrar que a expressão dentro do logaritmo é sempre maior que zero, exceto em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo só está definido para argumentos positivos. Então, queremos garantir que .
Para facilitar essa análise, vamos completar o quadrado na expressão . Completar quadrados é uma técnica que ajuda a reescrever expressões quadráticas de uma forma que facilita a identificação de seus valores mínimos ou máximos.
Vamos reescrever de uma maneira mais amigável:
Aqui, completamos o quadrado no termo adicionando e subtraindo .
Agora, observamos que:
A soma de dois termos que são sempre maiores ou iguais a zero também será maior ou igual a zero. Portanto:
Agora, vamos ver quando essa expressão é igual a zero. Para isso:
Como a soma de dois termos não-negativos é zero somente quando cada termo é zero, temos:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, a única solução é e , ou seja, .

Resposta

Portanto, o domínio de é todo menos o ponto , ou seja:

Exercícios relacionados

Encontre os valores de e de forma que o plano seja tangente ao parabolóide de equação no ponto cuja projeção no eixo é o ponto .
Verifique se existe as derivadas parciais no ponto ( 0,0 ) em cada caso:
Resp.: Existe.
Mostre que a função
tem derivadas parciais contínuas em , porém, as derivadas parciais mistas não são aí contínuas.
A temperatura em cada ponto de uma placa de metal é dada por
Encontre a equação da isoterma que passa pelo ponto e o gradiente neste ponto. Esboce um desenho de ambos no mesmo sistema de coordenadas, mostrando o aspecto geométrico; Resp: (a) .