Seja f(x, y) = log(x^2 + y^2 + x * y).
Mostre que Dom(f) = R^2 \ { (0,0) } Sugestão: Complete quadrados para mostrar que x^2 + y^2 + x * y >= 0, para todo (x, y) != (0, 0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem a função e precisa mostrar que o domínio dela é todo o menos o ponto . Aqui, o assunto principal é domínio de funções logarítmicas e pra resolver isso, vamos precisar entender como completar quadrados para mostrar que a expressão dentro do logaritmo é sempre maior que zero, exceto em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo só está definido para argumentos positivos. Então, queremos garantir que .
Para facilitar essa análise, vamos completar o quadrado na expressão . Completar quadrados é uma técnica que ajuda a reescrever expressões quadráticas de uma forma que facilita a identificação de seus valores mínimos ou máximos.
Vamos reescrever de uma maneira mais amigável:
Aqui, completamos o quadrado no termo adicionando e subtraindo .
Agora, observamos que:
A soma de dois termos que são sempre maiores ou iguais a zero também será maior ou igual a zero. Portanto:
Agora, vamos ver quando essa expressão é igual a zero. Para isso:
Como a soma de dois termos não-negativos é zero somente quando cada termo é zero, temos:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, a única solução é e , ou seja, .

Resposta

Portanto, o domínio de é todo menos o ponto , ou seja:

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