Verifique se existe as derivadas parciais no ponto ( 0,0 ) em cada caso:
Resp.: Existe.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas formas diferentes: uma para todos os pontos que não são e outra especificamente para o ponto . O conteúdo aqui está ligado às derivadas parciais de funções de duas variáveis. Precisamos verificar se as derivadas parciais de existem no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Uma derivada parcial em relação a ou mede como a função muda quando apenas uma dessas variáveis muda, mantendo a outra constante. No ponto , queremos ver se essas mudanças existem de forma bem definida.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a no ponto . A derivada parcial em é definida por:
Substituindo os valores:
Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a no ponto . A derivada parcial em é definida por:
Substituindo os valores:
Então:

Passo 5

Concluímos que tanto a derivada parcial em quanto em existem no ponto e são iguais a 1 e -1, respectivamente.

Resposta

Existe.

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