Verifique se existe as derivadas parciais no ponto ( 0,0 ) em cada caso:
Resp.: Existe.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de duas formas diferentes: uma para todos os pontos
que não são
e outra especificamente para o ponto
. O conteúdo aqui está ligado às derivadas parciais de funções de duas variáveis. Precisamos verificar se as derivadas parciais de
existem no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Uma derivada parcial em relação a
ou
mede como a função muda quando apenas uma dessas variáveis muda, mantendo a outra constante. No ponto
, queremos ver se essas mudanças existem de forma bem definida.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a
no ponto
. A derivada parcial em
é definida por:
Substituindo os valores:
Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
no ponto
. A derivada parcial em
é definida por:
Substituindo os valores:
Então:
Passo 5
Concluímos que tanto a derivada parcial em
quanto em
existem no ponto
e são iguais a 1 e -1, respectivamente.
Resposta
Existe.