Verifique se existe as derivadas parciais no ponto ( 0,0 ) em cada caso:
Resp.: Existe.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de duas formas diferentes: uma para todos os pontos
que não são
e outra especificamente para o ponto
. O conteúdo aqui está ligado às derivadas parciais de funções de duas variáveis. Precisamos verificar se as derivadas parciais de
existem no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Uma derivada parcial em relação a
ou
mede como a função muda quando apenas uma dessas variáveis muda, mantendo a outra constante. No ponto
, queremos ver se essas mudanças existem de forma bem definida.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a
no ponto
. A derivada parcial em
é definida por:
Substituindo os valores:
Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
no ponto
. A derivada parcial em
é definida por:
Substituindo os valores:
Então:
Passo 5
Concluímos que tanto a derivada parcial em
quanto em
existem no ponto
e são iguais a 1 e -1, respectivamente.
Resposta
Existe.
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é diferenciável em
? Resp: (a)
não é diferenciável em
.
Encontre os valores de
e
de forma que o plano
seja tangente ao parabolóide de equação
no ponto cuja projeção no eixo
é o ponto
.
Seja
.
Mostre que Sugestão: Complete quadrados para mostrar que
, para todo
.
Mostre que