Verifique se existe as derivadas parciais no ponto ( 0,0 ) em cada caso:
f(x, y)=rrrx^3-y^3x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0) Resp.: Existe.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas formas diferentes: uma para todos os pontos que não são e outra especificamente para o ponto . O conteúdo aqui está ligado às derivadas parciais de funções de duas variáveis. Precisamos verificar se as derivadas parciais de existem no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Uma derivada parcial em relação a ou mede como a função muda quando apenas uma dessas variáveis muda, mantendo a outra constante. No ponto , queremos ver se essas mudanças existem de forma bem definida.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h no ponto f(h, 0) = h^3 - 0^3h^2 + 0^2 = h^3h^2 = h . A derivada parcial em fx(0,0) = limh to 0 h - 0h = limh to 0 1 = 1 é definida por:
Substituindo os valores:
Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k no ponto f(0, k) = 0^3 - k^30^2 + k^2 = -k^3k^2 = -k . A derivada parcial em fy(0,0) = limk to 0 -k - 0k = limk to 0 -1 = -1 é definida por:
Substituindo os valores:
Então:

Passo 5

Concluímos que tanto a derivada parcial em quanto em existem no ponto e são iguais a 1 e -1, respectivamente.

Resposta

Existe.

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