Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação
tem uma solução no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação $ e^{x} = 2 - x $ tem pelo menos uma solução no intervalo
. Esse teorema basicamente diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero. Vamos ver como aplicar isso aqui!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la igual a zero. Isso facilita a aplicação do teorema. Então, temos:
Agora, queremos mostrar que existe um
no intervalo
tal que
.
Passo 3
Vamos verificar os valores de
nos extremos do nosso intervalo, ou seja, em
e
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Observamos que
e
. Então, a função
passa de negativo para positivo quando
vai de 0 para 1.
Passo 5
Como
é contínua nesse intervalo (pois é a soma de funções contínuas) e muda de sinal entre
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um valor de
entre 0 e 1 onde
.
Resposta
Portanto, a equação $ e^{x} = 2 - x $ tem pelo menos uma solução no intervalo
.