Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação e^x=2-x tem uma solução no intervalo (0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação $ e^{x} = 2 - x $ tem pelo menos uma solução no intervalo e^x = 2 - x . Esse teorema basicamente diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero. Vamos ver como aplicar isso aqui!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la igual a zero. Isso facilita a aplicação do teorema. Então, temos:
f(x) = e^x - (2 - x) = e^x + x - 2
Agora, queremos mostrar que existe um x no intervalo (0, 1) tal que f(x) = 0.

Passo 3

Vamos verificar os valores de f(x) nos extremos do nosso intervalo, ou seja, em x = 0 e x = 1.
Para x = 0:
f(0) = e^0 + 0 - 2 = 1 + 0 - 2 = -1
Para x = 1:
f(1) = e^1 + 1 - 2 = e + 1 - 2 approx 2.718 + 1 - 2 = 1.718

Passo 4

Observamos que f(0) = -1 e f(1) approx 1.718. Então, a função f(x) passa de negativo para positivo quando x vai de 0 para 1.

Passo 5

Como f(x) é contínua nesse intervalo (pois é a soma de funções contínuas) e muda de sinal entre x = 0 e x = 1, pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um valor de x entre 0 e 1 onde f(x) = 0.

Resposta

Portanto, a equação $ e^{x} = 2 - x $ tem pelo menos uma solução no intervalo e^x = 2 - x .

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