Encontre valores de m para que
seja uma solução para cada equação diferencial:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia é encontrar os valores de
que fazem com que a função
seja uma solução para cada uma das equações diferenciais dadas. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem e usando exponenciais como soluções possíveis. Para resolver, precisamos substituir
, sua primeira derivada
e sua segunda derivada
na equação diferencial e encontrar os valores de
que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Vamos começar com a primeira equação diferencial:
Primeiro, precisamos calcular as derivadas de
:
-
A primeira derivada
é: -
A segunda derivada
é:
Passo 3
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Substituindo:
Passo 4
Vamos fatorar
, que é comum a todos os termos:
Como
nunca é zero para nenhum valor real de
, podemos simplificar a equação para:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a equação quadrática:
Podemos fatorar essa equação:
Passo 6
Resolvendo as duas possibilidades:
-
⇒ -
⇒
Resposta
Os valores de
que tornam
uma solução para a equação diferencial
são
e
.