Encontre valores de m para que y = e^(m x) seja uma solução para cada equação diferencial:
a) y'' - 5y' + 6y = 0
b) y'' + 10y' + 25y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia é encontrar os valores de que fazem com que a função seja uma solução para cada uma das equações diferenciais dadas. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem e usando exponenciais como soluções possíveis. Para resolver, precisamos substituir , sua primeira derivada e sua segunda derivada na equação diferencial e encontrar os valores de que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Vamos começar com a primeira equação diferencial:
Primeiro, precisamos calcular as derivadas de :
  • A primeira derivada é:
  • A segunda derivada é:

Passo 3

Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Substituindo:

Passo 4

Vamos fatorar , que é comum a todos os termos:
Como nunca é zero para nenhum valor real de , podemos simplificar a equação para:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a equação quadrática:
Podemos fatorar essa equação:

Passo 6

Resolvendo as duas possibilidades:

Resposta

Os valores de que tornam uma solução para a equação diferencial são e .

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