Encontre a derivada de
na direção do versor tangente a hélice
sent
nos pontos onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada direcional da função
na direção do versor tangente à hélice
nos pontos onde
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional e vetores de direção.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor tangente à hélice
em cada valor de
. O vetor tangente é a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Em seguida, transformamos esse vetor tangente em um versor, ou seja, um vetor unitário. Para isso, calculamos a magnitude de
:
Então, o versor tangente
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado pelas derivadas parciais:
Passo 5
A derivada direcional de
na direção de
é o produto escalar do gradiente de
com o versor tangente:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar as coordenadas
no ponto da hélice para cada
:
Substituindo esses valores na expressão da derivada direcional:
Passo 7
Finalmente, avaliamos
nos valores de
dados:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
A derivada direcional de
na direção do versor tangente à hélice nos pontos dados é: