Encontre a derivada de f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 na direção do versor tangente a hélice r(t) = cos(t) i + ( sent j + t k nos pontos onde t = -pi/4, 0, pi/4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada direcional da função na direção do versor tangente à hélice nos pontos onde . Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional e vetores de direção.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor tangente à hélice em cada valor de . O vetor tangente é a derivada de em relação a :

Passo 3

Em seguida, transformamos esse vetor tangente em um versor, ou seja, um vetor unitário. Para isso, calculamos a magnitude de :
Então, o versor tangente é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado pelas derivadas parciais:

Passo 5

A derivada direcional de na direção de é o produto escalar do gradiente de com o versor tangente:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar as coordenadas no ponto da hélice para cada :
Substituindo esses valores na expressão da derivada direcional:

Passo 7

Finalmente, avaliamos nos valores de dados:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A derivada direcional de na direção do versor tangente à hélice nos pontos dados é:

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