Encontre os valores máximo e mínimo da função
sobre a elipse
Passo 1
Vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar os valores máximo e mínimo da função
sobre uma elipse definida por
. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da matemática para otimizar uma função sujeita a uma restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar os pontos onde uma função
atinge seus valores máximos ou mínimos sujeitos a uma restrição
. No nosso caso,
e a restrição é a equação da elipse
.
Passo 3
Para aplicar o método, definimos a função auxiliar
, onde
é o multiplicador de Lagrange. Então, temos:
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
,
e
e as igualamos a zero:
Passo 5
Vamos resolver as equações (1) e (2) para
:
Da equação (1):
Da equação (2):
Igualando as expressões para
das equações (4) e (5):
Passo 6
Agora, usamos a equação da elipse
e substituímos
:
Então,
ou
.
Passo 7
Usando
, temos que quando
,
, logo
. Da mesma forma, quando
,
.
Portanto, os pontos críticos são
,
,
e
.
Passo 8
Vamos calcular
em cada um desses pontos:
- Em
: - Em
: - Em
: - Em
:
Resposta
Os valores máximos e mínimos da função
sobre a elipse
são: