Encontre os valores máximo e mínimo da função f(x, y)=x y sobre a elipse
x^28+y^22=1

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar os valores máximo e mínimo da função sobre uma elipse definida por . Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da matemática para otimizar uma função sujeita a uma restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar os pontos onde uma função atinge seus valores máximos ou mínimos sujeitos a uma restrição . No nosso caso, e a restrição é a equação da elipse .

Passo 3

Para aplicar o método, definimos a função auxiliar L(x, y, lambda) = x y - lambda ( x^28 + y^22 - 1 ) , onde é o multiplicador de Lagrange. Então, temos:

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas parciais de partial Lpartial x = y - lambda ( 2x8 ) = y - lambda x4 = 0 (1) em relação a partial Lpartial y = x - lambda ( 2y2 ) = x - lambda y = 0 (2) , partial Lpartial lambda = -( x^28 + y^22 - 1 ) = 0 (3) e e as igualamos a zero:

Passo 5

Vamos resolver as equações (1) e (2) para y = lambda x4 Rightarrow lambda = 4yx (4) :
Da equação (1):
x = lambda y Rightarrow lambda = xy (5)
Da equação (2):
4yx = xy Rightarrow 4y^2 = x^2 Rightarrow x^2 = 4y^2
Igualando as expressões para das equações (4) e (5):

Passo 6

Agora, usamos a equação da elipse 4y^28 + y^22 = y^22 + y^22 = y^2 = 1 Rightarrow y = pm 1 e substituímos :
Então, ou .

Passo 7

Usando , temos que quando , , logo . Da mesma forma, quando , .
Portanto, os pontos críticos são , , e .

Passo 8

Vamos calcular em cada um desses pontos:
  • Em :
  • Em :
  • Em :
  • Em :

Resposta

Os valores máximos e mínimos da função Máximo = 2 e Mínimo = -2 sobre a elipse são:
áí

Exercícios relacionados