Encontre os valores máximo e mínimo da função sobre a elipse

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar os valores máximo e mínimo da função sobre uma elipse definida por . Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da matemática para otimizar uma função sujeita a uma restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar os pontos onde uma função atinge seus valores máximos ou mínimos sujeitos a uma restrição . No nosso caso, e a restrição é a equação da elipse .

Passo 3

Para aplicar o método, definimos a função auxiliar , onde é o multiplicador de Lagrange. Então, temos:

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas parciais de em relação a , e e as igualamos a zero:

Passo 5

Vamos resolver as equações (1) e (2) para :
Da equação (1):
Da equação (2):
Igualando as expressões para das equações (4) e (5):

Passo 6

Agora, usamos a equação da elipse e substituímos :
Então, ou .

Passo 7

Usando , temos que quando , , logo . Da mesma forma, quando , .
Portanto, os pontos críticos são , , e .

Passo 8

Vamos calcular em cada um desses pontos:
  • Em :
  • Em :
  • Em :
  • Em :

Resposta

Os valores máximos e mínimos da função sobre a elipse são:
áí

Exercícios relacionados

25- Explique porquê a energia de um elétron do orbital é menor que a energia de um elétron no orbital , sendo que no primeiro caso o valor do número quanto é maior.
22- Qual é o momento angular orbital (na forma de múltiplos de ) dos orbitais (a) ; (b) ; © ; (d) ; (e) ? Dê os números de nós angulares e radiais em cada caso. (f) Qual é o elemento químico que possui a configuração (g) e (h) .
Encontre a primitiva mais geral da função. (Verifique sua resposta derivando.)
g)