Diga em quais intervalos as funções f a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(b) f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2

Passo 1

Beleza! Vamos analisar o enunciado: precisamos descobrir em quais intervalos a função está crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, se está aumentando ou diminuindo.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos fatorar a derivada para facilitar a análise:
Podemos fatorar ainda mais o polinômio dentro dos parênteses:
Então, a derivada fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde :
Isso acontece quando:

Passo 5

Esses pontos dividem a reta real em quatro intervalos. Vamos testar a derivada em cada intervalo para ver se é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
  1. Intervalo :
    Escolha :
    Portanto, a função é decrescente nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    Escolha :
    Portanto, a função é crescente nesse intervalo.
  3. Intervalo :
    Escolha :
    Portanto, a função é decrescente nesse intervalo.
  4. Intervalo :
    Escolha :
    Portanto, a função é crescente nesse intervalo.

Resposta

A função é:
  • Decrescente nos intervalos e .
  • Crescente nos intervalos e .

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