Encontre os valores máximos e mínimos locais e globais de
. Justifique sua resposta.
(h)
(h)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar os valores máximos e mínimos locais e globais da função
no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar pontos onde a função atinge esses valores extremos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os valores de
onde a derivada de
é zero ou onde a derivada não existe. Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos locais.
Vamos calcular a derivada de
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
que fazem
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Além dos pontos críticos, precisamos também considerar os extremos do intervalo dado, ou seja,
e
, pois funções contínuas alcançam seus máximos e mínimos nesses pontos.
Então, teremos que avaliar a função
nos seguintes pontos:
Passo 5
Vamos calcular o valor de
em cada um desses pontos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, vamos analisar os valores obtidos:
Observamos que:
- O maior valor de
ocorre em com aproximadamente . - O menor valor de
ocorre em com aproximadamente . - Nos extremos
e , a função vale , que está entre os valores máximos e mínimos encontrados.
Passo 7
Para determinar se os valores nos pontos críticos são realmente máximos ou mínimos, podemos observar o comportamento da derivada ao redor desses pontos. Entretanto, como estamos analisando em um intervalo fechado e os valores nos extremos não são os maiores ou menores, podemos concluir que:
-
é um máximo local. -
é um mínimo local.
Além disso, como não há outros valores no intervalo que sejam maiores ou menores, esses também são os máximos e mínimos globais no intervalo
.
Resposta
A função
apresenta um máximo local e global em
com valor aproximado de
e um mínimo local e global em
com valor aproximado de
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Encontre os valores máximo e mínimo globais de
no intervalo dado, se possível. Justifique sua resposta.
(h)
(h)
UACSA
Diga em quais intervalos as funções
a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(b)
(b)
Diga em quais intervalos as funções
a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(e)
(e)