Encontre os valores máximos e mínimos locais e globais de . Justifique sua resposta.
(h)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar os valores máximos e mínimos locais e globais da função no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar pontos onde a função atinge esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os valores de onde a derivada de é zero ou onde a derivada não existe. Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos locais.
Vamos calcular a derivada de :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de que fazem :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Além dos pontos críticos, precisamos também considerar os extremos do intervalo dado, ou seja, e , pois funções contínuas alcançam seus máximos e mínimos nesses pontos.
Então, teremos que avaliar a função nos seguintes pontos:

Passo 5

Vamos calcular o valor de em cada um desses pontos:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Agora, vamos analisar os valores obtidos:
Observamos que:
  • O maior valor de ocorre em com aproximadamente .
  • O menor valor de ocorre em com aproximadamente .
  • Nos extremos e , a função vale , que está entre os valores máximos e mínimos encontrados.

Passo 7

Para determinar se os valores nos pontos críticos são realmente máximos ou mínimos, podemos observar o comportamento da derivada ao redor desses pontos. Entretanto, como estamos analisando em um intervalo fechado e os valores nos extremos não são os maiores ou menores, podemos concluir que:
  • é um máximo local.
  • é um mínimo local.
Além disso, como não há outros valores no intervalo que sejam maiores ou menores, esses também são os máximos e mínimos globais no intervalo .

Resposta

A função apresenta um máximo local e global em com valor aproximado de e um mínimo local e global em com valor aproximado de no intervalo .

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Encontre os valores máximo e mínimo globais de no intervalo dado, se possível. Justifique sua resposta.
(h)
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Diga em quais intervalos as funções a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
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