Encontre os valores máximos e mínimos globais de
no intervalo dado:
©
no intervalo
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos globais da função
no intervalo
. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de máximos e mínimos de funções. Para resolver, vamos precisar usar derivadas para identificar onde a função atinge seus valores extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar máximos e mínimos globais. Um máximo global é o maior valor que a função atinge em todo o intervalo considerado, e um mínimo global é o menor valor. Para encontrar esses pontos, precisamos:
- Calcular a derivada da função
. - Encontrar onde essa derivada é zero ou não existe (pontos críticos).
- Avaliar a função nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Usamos a regra do produto, que diz que se
, então
.
Aqui,
e
. Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos resolver
:
Sabemos que
nunca é zero para nenhum valor real de
. Portanto, a equação
se reduz a:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Vamos avaliar a função
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo
:
- No ponto crítico
:
- Na extremidade
:
- Na extremidade
:
Passo 6
Agora, com os valores calculados:
O valor mais alto é
e o mais baixo é
.
Resposta
No intervalo
, a função
atinge seu máximo global em
com
e seu mínimo global em
com
.
Exercícios relacionados
Encontre os pontos críticos da função:
(e)
(e)
Resolva as integrais duplas:
. Resp.: 4040.
De um exemplo de função
tal que
mas
. A função
escolhida é contínua?