Encontre os valores máximos e mínimos globais de no intervalo dado:
© no intervalo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos globais da função no intervalo . Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de máximos e mínimos de funções. Para resolver, vamos precisar usar derivadas para identificar onde a função atinge seus valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar máximos e mínimos globais. Um máximo global é o maior valor que a função atinge em todo o intervalo considerado, e um mínimo global é o menor valor. Para encontrar esses pontos, precisamos:
  1. Calcular a derivada da função .
  2. Encontrar onde essa derivada é zero ou não existe (pontos críticos).
  3. Avaliar a função nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Usamos a regra do produto, que diz que se , então .
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos resolver :
Sabemos que nunca é zero para nenhum valor real de . Portanto, a equação se reduz a:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo :
  1. No ponto crítico :
  1. Na extremidade :
  1. Na extremidade :

Passo 6

Agora, com os valores calculados:
O valor mais alto é e o mais baixo é .

Resposta

No intervalo , a função atinge seu máximo global em com e seu mínimo global em com .

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