;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
no intervalo
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações lineares e integrar fatores apropriados. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o entendimento:
Isso pode ser visto como uma equação linear de segunda ordem na forma:
Aqui,
e
.
Passo 3
Como
, nossa equação simplifica para:
Podemos agora reduzir a equação de segunda ordem para uma de primeira ordem fazendo uma substituição. Vamos chamar
. Assim, a equação fica:
Passo 4
Agora temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Essa é uma equação linear que podemos resolver usando um fator integrante. A forma geral é:
Aqui,
.
Passo 5
Para encontrar o fator integrante
, usamos a fórmula:
Vamos calcular a integral:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 6
Multiplicamos a equação diferencial de primeira ordem pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados, obtemos:
Onde
é uma constante de integração. Então,
Lembrando que
, temos:
Passo 8
Agora, integramos
para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Calculando a integral:
Portanto,
Resposta
A solução geral da equação diferencial
no intervalo
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Encontre os pontos críticos da função:
(e)
(e)
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Encontre os valores máximos e mínimos globais de
no intervalo dado:
© no intervalo
©
Resolva as integrais duplas:
. Resp.: 4040.