;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial no intervalo . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações lineares e integrar fatores apropriados. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o entendimento:
Isso pode ser visto como uma equação linear de segunda ordem na forma:
Aqui, e .

Passo 3

Como , nossa equação simplifica para:
Podemos agora reduzir a equação de segunda ordem para uma de primeira ordem fazendo uma substituição. Vamos chamar . Assim, a equação fica:

Passo 4

Agora temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Essa é uma equação linear que podemos resolver usando um fator integrante. A forma geral é:
Aqui, .

Passo 5

Para encontrar o fator integrante , usamos a fórmula:
Vamos calcular a integral:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 6

Multiplicamos a equação diferencial de primeira ordem pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados, obtemos:
Onde é uma constante de integração. Então,
Lembrando que , temos:

Passo 8

Agora, integramos para encontrar :
Onde é outra constante de integração.

Passo 9

Calculando a integral:
Portanto,

Resposta

A solução geral da equação diferencial no intervalo é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Encontre os pontos críticos da função:
(e)
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Encontre os valores máximos e mínimos globais de no intervalo dado:
© no intervalo
Resolva as integrais duplas:
. Resp.: 4040.