Diga em quais intervalos as funções a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(e)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos descobrir em quais intervalos essa função está crescente e em quais está decrescente. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a determinar o comportamento das funções.

Passo 2

Para saber onde a função está crescendo ou diminuindo, precisamos calcular a derivada da função . A derivada, denotada por , nos dá a inclinação da função em cada ponto. Se , a função está crescendo naquele intervalo. Se , está decrescendo.
Vamos calcular a derivada de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os valores de onde ou onde a derivada não existe. Nossa derivada é um polinômio, então ela existe para todo . Portanto, vamos resolver :
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Com os pontos críticos identificados, vamos dividir a reta real em intervalos e testar o sinal de em cada intervalo. Os intervalos são:
Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e calcular o sinal de :
  • Intervalo 1: (por exemplo, )
  • Intervalo 2: (por exemplo, )
  • Intervalo 3: (por exemplo, )

Passo 5

Interpretando os resultados:
  • Quando é negativo, a função está decrescente.
  • Quando é positivo, a função está crescente.
Então:
  • Intervalo : está decrescendo.
  • Intervalo : está decrescendo.
  • Intervalo : está crescendo.

Resposta

A função é:
  • Decrescente nos intervalos e .
  • Crescente no intervalo .

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