Diga em quais intervalos as funções
a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(e)
(e)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos descobrir em quais intervalos essa função está crescente e em quais está decrescente. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a determinar o comportamento das funções.
Passo 2
Para saber onde a função está crescendo ou diminuindo, precisamos calcular a derivada da função
. A derivada, denotada por
, nos dá a inclinação da função em cada ponto. Se
, a função está crescendo naquele intervalo. Se
, está decrescendo.
Vamos calcular a derivada de
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os valores de
onde
ou onde a derivada não existe. Nossa derivada
é um polinômio, então ela existe para todo
. Portanto, vamos resolver
:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Com os pontos críticos identificados, vamos dividir a reta real em intervalos e testar o sinal de
em cada intervalo. Os intervalos são:
Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e calcular o sinal de
:
- Intervalo 1:
(por exemplo, )
- Intervalo 2:
(por exemplo, )
- Intervalo 3:
(por exemplo, )
Passo 5
Interpretando os resultados:
- Quando
é negativo, a função está decrescente. - Quando
é positivo, a função está crescente.
Então:
- Intervalo
: ⇒ está decrescendo. - Intervalo
: ⇒ está decrescendo. - Intervalo
: ⇒ está crescendo.
Resposta
A função
é:
- Decrescente nos intervalos
e . - Crescente no intervalo
.
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