Encontre a velocidade v e a posição x cm função de t, para uma particula de massa m que parte do repouso em t=0(x0=0) sujeita as seguintes forças: (Valor 1.0 ponto)
a) Fx=Fo+a t
b) Fx=Fo sen at
onde Fo e a são constantes positivas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a velocidade e a posição de uma partícula que começa do repouso ( , ) no tempo . A partícula tem uma massa e está sujeita a duas forças diferentes em cada item:
a)
b)
Para resolver isso, vamos usar a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração, e depois integrar para encontrar a velocidade e a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz:
F = m cdot a
Onde:
  • é a força resultante
  • é a massa
  • é a aceleração
Nossa meta é encontrar e , então precisamos expressar a aceleração em termos de e .

Passo 3

A aceleração a(t) = dvdt é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
v(t) = dxdt
E a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos começar resolvendo cada item separadamente.

Passo 4

Item a) Fx = m cdot a(t) implies a(t) = F0 + a tm

Encontrando a aceleração

Usando a segunda lei de Newton:
v(t) = integral a(t) , dt = integral F0 + a tm , dt = F0m t + a2m t^2 + C

Encontrando a velocidade v(t) = F0m t + a2m t^2

Para encontrar x(t) = integral v(t) , dt = integral ( F0m t + a2m t^2 ) dt = F02m t^2 + a6m t^3 + D , integramos a aceleração em relação ao tempo:
x(t) = F02m t^2 + a6m t^3
Como a partícula parte do repouso ( ), a constante . Então:

Encontrando a posição

Integramos a velocidade para encontrar a posição:
Como a partícula parte de , a constante . Então:

Passo 5

Item b) Fx = m cdot a(t) implies a(t) = F0 sin(at)m

Encontrando a aceleração

Usando a segunda lei de Newton:
v(t) = integral a(t) , dt = integral F0 sin(at)m , dt = -F0m a cos(at) + C

Encontrando a velocidade 0 = -F0m a cos(0) + C implies C = F0m a

Vamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
v(t) = F0m a (1 - cos(at))
Aplicando a condição inicial x(t) = integral v(t) , dt = integral F0m a (1 - cos(at)) dt = F0m a t - F0m a^2 sin(at) + D :
0 = F0m a cdot 0 - F0m a^2 sin(0) + D implies D = 0
Então, a velocidade é:
x(t) = F0m a t - F0m a^2 sin(at)

Encontrando a posição

Integramos a velocidade para encontrar a posição:
Aplicando a condição inicial :
Então, a posição é:

Resposta

a)
v(t) = F0m t + a2m t^2
x(t) = F02m t^2 + a6m t^3
b)
v(t) = F0m a (1 - cos(at))
x(t) = F0m a t - F0m a^2 sin(at)

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