Encontre a velocidade
e a posição
função de
, para uma particula de massa
que parte do repouso em
sujeita as seguintes forças: (Valor 1.0 ponto)
a)
b)
at
onde
e
são constantes positivas.
a)
b)
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a velocidade
e a posição
de uma partícula que começa do repouso (
,
) no tempo
. A partícula tem uma massa
e está sujeita a duas forças diferentes em cada item:
a)
b)
Para resolver isso, vamos usar a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração, e depois integrar para encontrar a velocidade e a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz:
Onde:
-
é a força resultante -
é a massa -
é a aceleração
Nossa meta é encontrar
e
, então precisamos expressar a aceleração em termos de
e
.
Passo 3
A aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
E a velocidade
é a derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos começar resolvendo cada item separadamente.
Passo 4
Item a)
Encontrando a aceleração
Usando a segunda lei de Newton:
Encontrando a velocidade
Para encontrar
, integramos a aceleração em relação ao tempo:
Como a partícula parte do repouso (
), a constante
. Então:
Encontrando a posição
Integramos a velocidade para encontrar a posição:
Como a partícula parte de
, a constante
. Então:
Passo 5
Item b)
Encontrando a aceleração
Usando a segunda lei de Newton:
Encontrando a velocidade
Vamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
Aplicando a condição inicial
:
Então, a velocidade é:
Encontrando a posição
Integramos a velocidade para encontrar a posição:
Aplicando a condição inicial
:
Então, a posição é:
Resposta
a)
b)