Seja
definida em
e seja
um real dado. Suponha que
L. Calcule
Passo 1
A questão nos pede para calcular o limite
, dado que sabemos que
. Aqui, estamos lidando com o conceito de limites, que é muito importante em cálculo, especialmente para entender como funções se comportam em torno de um ponto específico. Para resolver isso, vamos usar a definição de limite que temos na questão.
Passo 2
Nós sabemos que a expressão
se refere ao que chamamos de derivada de
em
. Quando o limite se aproxima de
, isso significa que a função
tem uma derivada em
com o valor
. Então, isso nos diz que a inclinação da função
no ponto
é exatamente
.
Agora, vamos manipular a expressão que queremos calcular. Note que podemos fazer uma mudança de variável na variável
. Se deixarmos
, onde
quando
, a nossa expressão se transforma em:
Passo 3
Agora, olha como ficou a expressão! O limite agora é equivalente a
. Esse limite é exatamente a derivada de
em
, mas com um sinal negativo. Portanto, sabemos que:
Substituindo na nossa expressão, temos:
Resposta
Portanto, chegamos à conclusão de que: