Seja f definida em R e seja p um real dado. Suponha que lim x p f(x)-f(p)x-p= L. Calcule lim h 0 f(p-h)-f(p)h

Passo 1

A questão nos pede para calcular o limite lim h 0 f(p-h)-f(p)h, dado que sabemos que lim x p f(x)-f(p)x-p = L. Aqui, estamos lidando com o conceito de limites, que é muito importante em cálculo, especialmente para entender como funções se comportam em torno de um ponto específico. Para resolver isso, vamos usar a definição de limite que temos na questão.

Passo 2

Nós sabemos que a expressão f(x) - f(p)x - p se refere ao que chamamos de derivada de f em p. Quando o limite se aproxima de L, isso significa que a função f tem uma derivada em p com o valor L. Então, isso nos diz que a inclinação da função f no ponto p é exatamente L.
Agora, vamos manipular a expressão que queremos calcular. Note que podemos fazer uma mudança de variável na variável h. Se deixarmos h = -k, onde k 0 quando h 0, a nossa expressão se transforma em:
limh 0 f(p-h) - f(p)h = limk 0 f(p+k) - f(p)-k = -limk 0 f(p+k) - f(p)k

Passo 3

Agora, olha como ficou a expressão! O limite agora é equivalente a -limk 0 f(p+k) - f(p)k. Esse limite é exatamente a derivada de f em p, mas com um sinal negativo. Portanto, sabemos que:
limk 0 f(p+k) - f(p)k = L
Substituindo na nossa expressão, temos:
-limk 0 f(p+k) - f(p)k = -L

Resposta

Portanto, chegamos à conclusão de que:
limh 0 f(p-h)-f(p)h = -L

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