Uma partícula se move ao longo de uma linha reta de tal modo que sua aceleração é dada por: onde a0 é uma constante com dimensa a=ao+b t^2 aceleração/(tempo) ^2 Cante com dimensão de aceleração e b é uma constante com dimensão de inicial é nula; (b) ponto)

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que se move numa linha reta e a aceleração dela é dada pela expressão . Aqui, é uma constante com dimensão de aceleração, e é outra constante que ajusta a dimensão pra que também tenha dimensão de aceleração. A parada inicial é que a velocidade da partícula é zero no tempo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração, já que aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que aceleração v(t) = integral a(t) , dt é a derivada da velocidade v(t) = integral (a0 + b t^2) , dt em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Substituindo na integral:

Passo 3

Vamos resolver essa integral passo a passo. A integral de uma soma é a soma das integrais:
v(t) = integral a0 , dt + integral b t^2 , dt
Calculando cada parte:
  1. v(t) = a0 t + b t^33 + C
Portanto:

Passo 4

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante de integração 0 = a0 cdot 0 + b cdot 0^33 + C . Sabemos que no tempo 0 = 0 + 0 + C , a velocidade v(t) = a0 t + b t^33 :
Isso simplifica para:
Então, .
Portanto, a expressão para a velocidade é:

Passo 5

Agora que temos a velocidade, podemos encontrar a posição s(t) = integral v(t) , dt integrando a velocidade em relação ao tempo:
s(t) = integral (a0 t + b t^33) , dt
Substituindo :

Passo 6

Vamos resolver essa integral:
s(t) = integral a0 t , dt + integral b t^33 , dt
Calculando cada parte:
  1. s(t) = a0 t^22 + b t^412 + C
Portanto:

Passo 7

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante de integração 0 = a0 cdot 0^22 + b cdot 0^412 + C . Sabemos que no tempo 0 = 0 + 0 + C , a posição s(t) = a0 t^22 + b t^412 :
Isso simplifica para:
Então, .
Portanto, a expressão para a posição é:

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é dada por:
s(t) = a0 t^22 + b t^412

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