Encontre a velocidade
e a posição
em função de
de uma partícula de massa
que parte do repouso em
sujeita às seguintes forças:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a velocidade
e a posição
de uma partícula de massa
que começa do repouso em
e está sujeita a uma força que varia com o tempo:
.
Para resolver isso, vamos usar as leis do movimento de Newton, especificamente a segunda lei, que relaciona força, massa e aceleração. Além disso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, como integrações, para passar da aceleração para a velocidade e depois para a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante
aplicada a uma partícula é igual à massa
dela multiplicada pela sua aceleração
:
Como sabemos que a força está variando com o tempo de acordo com
, podemos escrever a aceleração como:
Passo 3
Agora que temos a expressão para a aceleração
, podemos encontrar a velocidade
integrando a aceleração em relação ao tempo. A integração da aceleração nos dá a velocidade:
Resolvendo a integral:
Como a partícula parte do repouso, a velocidade inicial
. Então, a constante
, e a expressão da velocidade fica:
Passo 4
Com a expressão para a velocidade
em mãos, podemos agora encontrar a posição
integrando a velocidade em relação ao tempo:
Resolvendo a integral:
Como a partícula parte do repouso na posição inicial
, a constante
, e a expressão da posição fica:
Resposta
A velocidade da partícula em função do tempo é:
E a posição da partícula em função do tempo é: