Encontre a velocidade v e a posição x em função de t de uma partícula de massa m que parte do repouso em t=0 sujeita às seguintes forças:
F=F0+b t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a velocidade e a posição de uma partícula de massa que começa do repouso em e está sujeita a uma força que varia com o tempo: .
Para resolver isso, vamos usar as leis do movimento de Newton, especificamente a segunda lei, que relaciona força, massa e aceleração. Além disso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, como integrações, para passar da aceleração para a velocidade e depois para a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante F = m cdot a aplicada a uma partícula é igual à massa a(t) = Fm = F0 + b tm dela multiplicada pela sua aceleração :
Como sabemos que a força está variando com o tempo de acordo com , podemos escrever a aceleração como:

Passo 3

Agora que temos a expressão para a aceleração v(t) = integral a(t) , dt = integral ( F0m + bm t ) dt , podemos encontrar a velocidade v(t) = F0m t + b2m t^2 + C integrando a aceleração em relação ao tempo. A integração da aceleração nos dá a velocidade:
v(t) = F0m t + b2m t^2
Resolvendo a integral:
Como a partícula parte do repouso, a velocidade inicial . Então, a constante , e a expressão da velocidade fica:

Passo 4

Com a expressão para a velocidade x(t) = integral v(t) , dt = integral ( F0m t + b2m t^2 ) dt em mãos, podemos agora encontrar a posição x(t) = F02m t^2 + b6m t^3 + D integrando a velocidade em relação ao tempo:
x(t) = F02m t^2 + b6m t^3
Resolvendo a integral:
Como a partícula parte do repouso na posição inicial , a constante , e a expressão da posição fica:

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é:
v(t) = F0m t + b2m t^2
E a posição da partícula em função do tempo é:
x(t) = F02m t^2 + b6m t^3

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