Encontre a velocidade v em função do deslocamento x de uma partícula de massa m que parte do repouso em x=0 sujeita às seguintes forças:
F=F0+k x

Passo 1

Vamos resolver um exercício de dinâmica, que é a parte da física que estuda o movimento das partículas sob a ação de forças. O enunciado pede para encontrarmos a velocidade de uma partícula em função do deslocamento . Sabemos que a partícula parte do repouso em e está sujeita à força . Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de Newton e algumas relações de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante F = m cdot a sobre uma partícula é igual ao produto da massa pela aceleração :
Aqui, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.

Passo 3

No nosso caso, a força é F0 + kx = m cdot a . Substituindo na segunda lei de Newton:
F0 + kx = m cdot dvdt
Como a aceleração é , temos:

Passo 4

Queremos encontrar a = dvdt = v cdot dvdx em função de F0 + kx = m cdot v cdot dvdx , então vamos usar a relação entre velocidade, deslocamento e tempo. Sabemos que:
Substituindo na equação anterior:

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis v cdot dv = F0 + kxm cdot dx e :
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre e .

Passo 6

Integrando o lado esquerdo em relação a integral v , dv = integral F0 + kxm , dx e o lado direito em relação a v^22 = F0m x + k2m x^2 + C :
0^22 = F0m cdot 0 + k2m cdot 0^2 + C implies C = 0
Como a partícula parte do repouso em , quando , . Substituindo esses valores para encontrar a constante :

Passo 7

Agora, temos a relação:
v^22 = F0m x + k2m x^2
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
v^2 = 2F0m x + km x^2

Passo 8

Finalmente, para encontrar v = raiz 2F0m x + km x^2 em função de v = raiz 1m ( 2F0x + kx^2 ) = raiz 2F0x + kx^2m , vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
Podemos fatorar dentro da raiz:

Resposta

A velocidade v = raiz 2F0x + kx^2m em função do deslocamento é:

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