Encontre a velocidade
em função do deslocamento
de uma partícula de massa
que parte do repouso em
sujeita às seguintes forças:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de dinâmica, que é a parte da física que estuda o movimento das partículas sob a ação de forças. O enunciado pede para encontrarmos a velocidade
de uma partícula em função do deslocamento
. Sabemos que a partícula parte do repouso em
e está sujeita à força
. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de Newton e algumas relações de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante
sobre uma partícula é igual ao produto da massa
pela aceleração
:
Aqui, a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Passo 3
No nosso caso, a força é
. Substituindo na segunda lei de Newton:
Como a aceleração é
, temos:
Passo 4
Queremos encontrar
em função de
, então vamos usar a relação entre velocidade, deslocamento e tempo. Sabemos que:
Substituindo na equação anterior:
Passo 5
Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis
e
:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre
e
.
Passo 6
Integrando o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Como a partícula parte do repouso em
, quando
,
. Substituindo esses valores para encontrar a constante
:
Passo 7
Agora, temos a relação:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 8
Finalmente, para encontrar
em função de
, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
Podemos fatorar
dentro da raiz:
Resposta
A velocidade
em função do deslocamento
é: