A força que atua numa partícula varia com a posição de acordo com a lei de potência
F(x)=-k x^n
Se v=v0 em t=0 e x=0, encontre v em função de x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física que fala sobre a força que atua numa partícula e como ela varia com a posição. A força é dada por uma lei de potência: F(x) = -k x^n . A gente sabe que quando o tempo t é zero e a posição x é zero, a velocidade v é v0. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão para a velocidade v em função da posição x. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica, especialmente as leis de Newton e um pouquinho de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força F que age numa partícula é igual à massa m dela vezes a aceleração a: F = m a
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos: a = dvdt
Então podemos escrever: F = m dvdt

Passo 3

Porém, como queremos relacionar a velocidade com a posição x e não com o tempo, vamos usar a regra da cadeia. Sabemos que: dvdt = dvdx cdot dxdt = v dvdx
Substituindo isso na equação da força, ficamos com: F = m v dvdx

Passo 4

Agora, substituímos a força dada pelo exercício na equação: -k x^n = m v dvdx
Vamos rearranjar para separar as variáveis v e x: m v dv = -k x^n dx

Passo 5

Para encontrar a relação entre v e x, vamos integrar os dois lados da equação:
integral m v dv = integral -k x^n dx
Integrando, temos: m2 v^2 = -kn+1 x^n+1 + C

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a constante de integração C. Usamos as condições iniciais: quando x = 0, v = v0.
Substituindo na equação: m2 v0^2 = -kn+1 (0)^n+1 + C
Isso simplifica para: C = m2 v0^2

Passo 7

Voltando à equação integrada com o valor de C: m2 v^2 = -kn+1 x^n+1 + m2 v0^2
Vamos isolar v^2: v^2 = v0^2 - 2km(n+1) x^n+1

Passo 8

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para obter v em função de x: v = raizv0^2 - 2km(n+1) x^n+1

Resposta

A velocidade v em função da posição x é dada por:
v = raizv0^2 - 2km(n+1) x^n+1

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