A força que atua numa partícula varia com a posição de acordo com a lei de potência
Se
em
e
, encontre
em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física que fala sobre a força que atua numa partícula e como ela varia com a posição. A força é dada por uma lei de potência:
. A gente sabe que quando o tempo
é zero e a posição
é zero, a velocidade
é
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão para a velocidade
em função da posição
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica, especialmente as leis de Newton e um pouquinho de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força
que age numa partícula é igual à massa
dela vezes a aceleração
:
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos:
Então podemos escrever:
Passo 3
Porém, como queremos relacionar a velocidade com a posição
e não com o tempo, vamos usar a regra da cadeia. Sabemos que:
Substituindo isso na equação da força, ficamos com:
Passo 4
Agora, substituímos a força dada pelo exercício na equação:
Vamos rearranjar para separar as variáveis
e
:
Passo 5
Para encontrar a relação entre
e
, vamos integrar os dois lados da equação:
Integrando, temos:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a constante de integração
. Usamos as condições iniciais: quando
,
.
Substituindo na equação:
Isso simplifica para:
Passo 7
Voltando à equação integrada com o valor de
:
Vamos isolar
:
Passo 8
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para obter
em função de
:
Resposta
A velocidade
em função da posição
é dada por: