Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois subespaços vetoriais de :
O objetivo é encontrar um operador linear em tal que:
(Imagem de é )
(Núcleo de é a interseção de e )
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de imagem e núcleo de um operador linear, bem como a maneira de construir matrizes que representem esses operadores.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar . Isso significa encontrar todos os vetores que estão em e também em .
Sabemos que é o espaço gerado pelos vetores e . Então, um vetor em pode ser escrito como:
Para estar em , deve satisfazer :
Substituindo na expressão de :
Portanto, , que é um subespaço unidimensional gerado por .
Passo 3
Agora, queremos construir um operador linear cuja imagem seja e cujo núcleo seja .
Sabemos que a imagem de deve ser , que é definido pela equação . Para garantir que , precisamos que as colunas da matriz representativa de estejam em .
Além disso, o núcleo de deve ser , que já identificamos como sendo gerado por . Isso significa que qualquer vetor no núcleo deve satisfazer .
Uma maneira de construir é definir uma matriz tal que:
Vamos verificar se essa matriz satisfaz as condições.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar a imagem de :
As colunas de são , e .
Queremos que , ou seja, que qualquer combinação linear das colunas de satisfaz .
Vamos verificar para cada coluna:
Para : → Não satisfaz.
Para : → Não satisfaz.
Para : → Não satisfaz.
Percebemos que essa matriz não atende à condição para a imagem. Vamos corrigir isso.
Passo 5
Vamos reconsiderar a construção da matriz a1 = (1, -1, 0), a2 = (0, 1, -1) . Precisamos que todas as colunas de a3 = a1 + a2 = (1, -1, 0) + (0, 1, -1) = (1, 0, -1) pertençam a A = 1 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 0 & -1 & -1 , ou seja, que para cada coluna , .
Vamos escolher duas colunas livres em e uma coluna que garanta que o núcleo seja .
Por exemplo, podemos escolher:
Essas colunas satisfazem :
Para a terceira coluna, precisamos que o núcleo seja , que é gerado por . Portanto, a terceira coluna pode ser uma combinação linear das duas primeiras.