Sejam U e W subespaços vetoriais de R^3, definidos por:
U=(x, y, z) in R^3 mid x+y+z=0 W=[(1,0,1) ;(0-1,1)]
determine um operador linear T sobre R^3 tal que Im(T)=U e Ker(T)=U cap W

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois subespaços vetoriais de :
O objetivo é encontrar um operador linear em tal que:
  • (Imagem de é )
  • (Núcleo de é a interseção de e )
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de imagem e núcleo de um operador linear, bem como a maneira de construir matrizes que representem esses operadores.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar w = a(1, 0, 1) + b(0, -1, 1) = (a, -b, a + b) . Isso significa encontrar todos os vetores que estão em a + (-b) + (a + b) = 2a = 0 implies a = 0 e também em w = (0, -b, b) .
Sabemos que é o espaço gerado pelos vetores e . Então, um vetor em pode ser escrito como:
Para estar em , deve satisfazer :
Substituindo na expressão de :
Portanto, , que é um subespaço unidimensional gerado por .

Passo 3

Agora, queremos construir um operador linear A = 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1 1 & 0 & -1 cuja imagem seja e cujo núcleo seja .
Sabemos que a imagem de deve ser , que é definido pela equação . Para garantir que , precisamos que as colunas da matriz representativa de estejam em .
Além disso, o núcleo de deve ser , que já identificamos como sendo gerado por . Isso significa que qualquer vetor no núcleo deve satisfazer .
Uma maneira de construir é definir uma matriz tal que:
Vamos verificar se essa matriz satisfaz as condições.

Passo 4

Primeiro, vamos verificar a imagem de :
As colunas de são , e .
Queremos que , ou seja, que qualquer combinação linear das colunas de satisfaz .
Vamos verificar para cada coluna:
  1. Para : → Não satisfaz.
  2. Para : → Não satisfaz.
  3. Para : → Não satisfaz.
Percebemos que essa matriz não atende à condição para a imagem. Vamos corrigir isso.

Passo 5

Vamos reconsiderar a construção da matriz a1 = (1, -1, 0), a2 = (0, 1, -1) . Precisamos que todas as colunas de a3 = a1 + a2 = (1, -1, 0) + (0, 1, -1) = (1, 0, -1) pertençam a A = 1 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 0 & -1 & -1 , ou seja, que para cada coluna , .
Vamos escolher duas colunas livres em e uma coluna que garanta que o núcleo seja .
Por exemplo, podemos escolher:
Essas colunas satisfazem :
Para a terceira coluna, precisamos que o núcleo seja , que é gerado por . Portanto, a terceira coluna pode ser uma combinação linear das duas primeiras.
Por exemplo:
Então, a matriz será:

Passo 6

Vamos verificar se:
  1. 1 cdot v1 + 0 cdot v2 + 1 cdot v3 = 0 -1 cdot v1 + 1 cdot v2 + 0 cdot v3 = 0 0 cdot v1 -1 cdot v2 -1 cdot v3 = 0
Primeiro, para a imagem:
As colunas de são , e . Todas satisfazem , então .
Além disso, como temos duas colunas lineares independentes, e (pois é uma equação linear em tr��s variáveis), concluímos que .
Agora, para o núcleo:
Resolvemos :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação: , que é sempre verdadeiro.
Portanto, o núcleo é .
Observamos que , que não coincide com o núcleo encontrado. Portanto, precisamos ajustar a matriz para que o núcleo seja .

Passo 7

Vamos ajustar a matriz a1 = (1, -1, 0), a2 = (0, 1, -1) para que o núcleo seja A(0, -1, 1) = 0 cdot a1 + (-1) cdot a2 + 1 cdot a3 = 0 .
Uma maneira de garantir isso é definir -a2 + a3 = 0 implies a3 = a2 de forma que A = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 1 0 & -1 & -1 .
Vamos construir com colunas em e garantir que esteja no núcleo.
Escolhemos duas colunas independentes em :
Agora, garantimos que seja tal que :
Então:
Portanto, podemos escolher . Assim, a matriz fica:

Passo 8

Vamos verificar novamente as condições com a nova matriz 1 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3 = 0 -1 cdot v1 + 1 cdot v2 + 1 cdot v3 = 0 0 cdot v1 -1 cdot v2 -1 cdot v3 = 0 :
  1. Imagem de v2 + v3 = 0 implies v2 = -v3 :
As colunas de -(-v3) - v3 = v3 - v3 = 0 são , e . Todas satisfazem , então .
Como temos duas colunas independentes, e , concluímos que .
  1. Núcleo de :
Resolvemos :
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Portanto, o núcleo é , que coincide com .

Resposta

O operador linear T = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 1 0 & -1 & -1 que satisfaz e é representado pela matriz:

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