Encontre um vetor unitário paralelo à bissetriz do ângulo determinado pelos vetores u e v nos seguintes casos: i) u=(1,2,-2) e v=(2,-1,2) ii) u=(1,2,-2) e v=(3,4,0).

Passo 1

Resumindo a questão: precisamos encontrar um vetor unitário paralelo à bissetriz do ângulo formado pelos vetores u e v nos dois casos apresentados. Vamos utilizar Geometria Vetorial, especialmente conceitos de normalização e soma de vetores.

Passo 2

Entendendo a teoria: a bissetriz do ângulo entre dois vetores pode ser encontrada somando os vetores normalizados. Depois, normalizamos o vetor resultante para obter um vetor unitário paralelo à bissetriz.

Passo 3

Caso i) u = (1, 2, -2) e v = (2, -1, 2).
Primeiro, normalizamos u e v.
Calculando a magnitude de u:
|u| = raiz1^2 + 2^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3
Vetor unitário na direção de u:
u = ( 13, 23, -23 )
Calculando a magnitude de v:
|v| = raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3
Vetor unitário na direção de v:
v = ( 23, -13, 23 )

Passo 4

Somamos os vetores unitários:
u + v = ( 13 + 23, 23 + -13, -23 + 23 ) = (1, 13, 0 )
Agora, normalizamos esse vetor resultante para obter o vetor unitário:
Magnitude de u + v:
|u + v| = raiz1^2 + ( 13 )^2 + 0^2 = raiz1 + 19 = raiz109 = raiz103
Portanto, o vetor unitário paralelo à bissetriz é:
bi = u + v|u + v| = ( 3raiz10, 1raiz10, 0 )

Passo 5

Caso ii) u = (1, 2, -2) e v = (3, 4, 0).
Primeiro, normalizamos u e v.
Já temos a normalização de u:
u = ( 13, 23, -23 )
Calculando a magnitude de v:
|v| = raiz3^2 + 4^2 + 0^2 = raiz9 + 16 + 0 = raiz25 = 5
Vetor unitário na direção de v:
v = ( 35, 45, 0 )

Passo 6

Somamos os vetores unitários:
u + v = ( 13 + 35, 23 + 45, -23 + 0 ) = ( 5 + 915, 10 + 1215, -23 ) = ( 1415, 2215, -23 )
Agora, normalizamos esse vetor resultante:
Magnitude de u + v:
|u + v| = raiz( 1415 )^2 + ( 2215 )^2 + ( -23 )^2 = raiz 196225 + 484225 + 49 = raiz 680225 + 100225 = raiz 780225 = raiz 5215 = 2 raiz19515
Portanto, o vetor unitário paralelo à bissetriz é:
bii = u + v|u + v| = ( 1415, 2215, -23 ) cdot 152 raiz195 = ( 7raiz195, 11raiz195, -5raiz195 )

Resposta

i) O vetor unitário paralelo à bissetriz é ( dfrac3raiz10, dfrac1raiz10,, 0 ).
ii) O vetor unitário paralelo à bissetriz é ( dfrac7raiz195, dfrac11raiz195,, dfrac-5raiz195 ).

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