Encontre um vetor x in R^3, tal que x times(imath+kappa)=2(imath+jmath-kappa) e |x|=raiz6.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar um vetor que, quando fazemos o produto vetorial dele com o vetor , resulta no vetor . Além disso, a norma (ou comprimento) de deve ser .
Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de produtos vetoriais e normas de vetores.

Passo 2

Vamos representar x = x1 imath + x2 jmath + x3 kappa em termos das componentes nos eixos , e . Ou seja,

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial a times b = (a2 b3 - a3 b2)imath - (a1 b3 - a3 b1)jmath + (a1 b2 - a2 b1)kappa . Sabemos que o produto vetorial de dois vetores x times (imath + kappa) = ( x2 cdot 1 - x3 cdot 0 )imath - ( x1 cdot 1 - x3 cdot 1 )jmath + ( x1 cdot 0 - x2 cdot 1 )kappa e x times (imath + kappa) = x2 imath - (x1 - x3) jmath - x2 kappa é dado por:
Aplicando isso ao nosso caso:
Simplificando:

Passo 4

Sabemos que esse produto vetorial deve ser igual a x2 = 2 . Então, podemos igualar as componentes correspondentes:
-(x1 - x3) = 2 implies x1 - x3 = -2
-x2 = -2 implies x2 = 2
x1 = x3 - 2
Já vimos que . A segunda equação nos dá uma relação entre e :

Passo 5

Agora, usamos a condição de que a norma de |x| = raizx1^2 + x2^2 + x3^2 é raiz(x3 - 2)^2 + 2^2 + x3^2 = raiz6 . A norma de um vetor (x3 - 2)^2 + 4 + x3^2 = 6 é dada por:
x3^2 - 4x3 + 4 + 4 + x3^2 = 6
Substituindo os valores que já temos:
2x3^2 - 4x3 + 8 = 6
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
2x3^2 - 4x3 + 2 = 0
Expandindo x3^2 - 2x3 + 1 = 0 :
(x3 - 1)^2 = 0
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 2:
Isso é um quadrado perfeito:
Portanto, .

Passo 6

Agora que temos x1 = 1 - 2 = -1 , podemos encontrar usando a relação :
E já sabemos que .

Resposta

O vetor x = -1,imath + 2,jmath + 1,kappa que satisfaz as condições é:

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