Encontre um vetor
, tal que
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar um vetor
que, quando fazemos o produto vetorial dele com o vetor
, resulta no vetor
. Além disso, a norma (ou comprimento) de
deve ser
.
Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de produtos vetoriais e normas de vetores.
Passo 2
Vamos representar
em termos das componentes nos eixos
,
e
. Ou seja,
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial
. Sabemos que o produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso ao nosso caso:
Simplificando:
Passo 4
Sabemos que esse produto vetorial deve ser igual a
. Então, podemos igualar as componentes correspondentes:
Já vimos que
. A segunda equação nos dá uma relação entre
e
:
Passo 5
Agora, usamos a condição de que a norma de
é
. A norma de um vetor
é dada por:
Substituindo os valores que já temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo
:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 2:
Isso é um quadrado perfeito:
Portanto,
.
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a relação
:
E já sabemos que
.
Resposta
O vetor
que satisfaz as condições é: