Encontre um vetor , tal que e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar um vetor que, quando fazemos o produto vetorial dele com o vetor , resulta no vetor . Além disso, a norma (ou comprimento) de deve ser .
Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de produtos vetoriais e normas de vetores.

Passo 2

Vamos representar em termos das componentes nos eixos , e . Ou seja,

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial . Sabemos que o produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso ao nosso caso:
Simplificando:

Passo 4

Sabemos que esse produto vetorial deve ser igual a . Então, podemos igualar as componentes correspondentes:
Já vimos que . A segunda equação nos dá uma relação entre e :

Passo 5

Agora, usamos a condição de que a norma de é . A norma de um vetor é dada por:
Substituindo os valores que já temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo :
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 2:
Isso é um quadrado perfeito:
Portanto, .

Passo 6

Agora que temos , podemos encontrar usando a relação :
E já sabemos que .

Resposta

O vetor que satisfaz as condições é:

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