Mostre que não existe x in R, tal que os vetores v=(x, 2,4) e w=(x,-2,3) sejam ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema quer a gente mostrar que não existe nenhum número real tal que os vetores e sejam ortogonais. Isso está dentro da matéria de álgebra linear, especificamente sobre vetores e ortogonalidade. Para resolver, vamos precisar entender o que significa dois vetores serem ortogonais e como calcular o produto escalar deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar (ou produto interno) entre eles é igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos relembrar como calcular o produto escalar de dois vetores em v cdot w = v1w1 + v2w2 + v3w3 . Se temos e , o produto escalar é dado por:

Passo 4

Aplicando isso aos vetores do problema:
v cdot w = x cdot x + 2 cdot (-2) + 4 cdot 3
Fazendo as contas:
v cdot w = x^2 - 4 + 12 = x^2 + 8

Passo 5

Para que os vetores x^2 + 8 = 0 e sejam ortogonais, o produto escalar deve ser zero. Então, temos a equação:

Resposta

Não existe nenhum número real que satisfaça a equação , já que é sempre maior ou igual a zero e, portanto, nunca será zero. Assim, não existe tal que os vetores e sejam ortogonais.

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