Mostre que não existe , tal que os vetores e sejam ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema quer a gente mostrar que não existe nenhum número real tal que os vetores e sejam ortogonais. Isso está dentro da matéria de álgebra linear, especificamente sobre vetores e ortogonalidade. Para resolver, vamos precisar entender o que significa dois vetores serem ortogonais e como calcular o produto escalar deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar (ou produto interno) entre eles é igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos relembrar como calcular o produto escalar de dois vetores em . Se temos e , o produto escalar é dado por:

Passo 4

Aplicando isso aos vetores do problema:
Fazendo as contas:

Passo 5

Para que os vetores e sejam ortogonais, o produto escalar deve ser zero. Então, temos a equação:

Resposta

Não existe nenhum número real que satisfaça a equação , já que é sempre maior ou igual a zero e, portanto, nunca será zero. Assim, não existe tal que os vetores e sejam ortogonais.

Exercícios relacionados

Encontre um vetor , tal que e .
A lâmina de vibração de uma campainha está presa a extremidade de uma corda esticada. Ligando-se a campainha, a lâmina passa a vibrar, executando 20 oscilações/s, dando origem a uma onda que se propaga na corda com velocidade .
d) Se a frequência da lâmina for aumentada para , o que acontecerá com os valores da velocidade de propagação e do comprimento de onda?
Uma onda tem uma frequência angular de e comprimento de anda de 0,5 m. Calcule:
b) a velocidade da onda.
Sabendo que e que e determinam um ângulo de , calcule:
(a)
(b) .