Encontre o volume do sólido delimitado por
. Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o volume de um sólido que está delimitado pelas superfícies
e
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de volumes usando integrais triplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma integral tripla e possivelmente usar coordenadas cilíndricas para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. A equação
representa um paraboloide que abre para baixo, e
é o plano xy. O sólido é então a região entre o paraboloide e o plano xy.
Passo 3
Para calcular o volume, vamos usar uma integral tripla. Devido à simetria circular do paraboloide, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
-
-
-
O diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração:
- Para
: Como o sólido é simétrico em torno do eixo z, varia de a . - Para
: O paraboloide corta o plano quando , ou seja, . Então, vai de a . - Para
: Para cada ponto , varia de (plano xy) até (topo do paraboloide).
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla para o volume
:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integral em
:
Então, a integral fica:
- Integral em
:
- Integral em
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.