Encontre o volume do sólido delimitado por . Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o volume de um sólido que está delimitado pelas superfícies e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de volumes usando integrais triplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma integral tripla e possivelmente usar coordenadas cilíndricas para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido. A equação representa um paraboloide que abre para baixo, e é o plano xy. O sólido é então a região entre o paraboloide e o plano xy.

Passo 3

Para calcular o volume, vamos usar uma integral tripla. Devido à simetria circular do paraboloide, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:

  • O diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração:
  • Para : Como o sólido é simétrico em torno do eixo z, varia de a .
  • Para : O paraboloide corta o plano quando , ou seja, . Então, vai de a .
  • Para : Para cada ponto , varia de (plano xy) até (topo do paraboloide).

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla para o volume :

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integral em :
Então, a integral fica:
  1. Integral em :
  1. Integral em :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Leia com atenção as afirmações:
(I) Se é uma sequência monótona e limitada, então é convergente;
(II) Se é uma sequência limitada, então é convergente;
(III) Se é uma sequência convergente, então é monótona.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
Leia com atenção as afirmações:
(I) A expansão em série de Taylor de , em torno de , é ;
(II) A série de potências converge apenas para ;
(III) A expansão de , em torno do zero, é .
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
Leia com atenção as afirmações:
(I) Ao derivarmos uma série de potências seu raio de convergência pode mudar;
(II) Ao derivarmos uma série de potências seu intervalo de convergência pode mudar;
(III) Ao integrarmos uma série de potências seu raio de convergência permanece o mesmo, mas seu intervalo de convergência pode mudar.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
Para e como acima, determine a expressão e domínio de
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