Leia com atenção as afirmações:
(I) Se
é uma sequência monótona e limitada, então
é convergente;
(II) Se
é uma sequência limitada, então
é convergente;
(III) Se
é uma sequência convergente, então
é monótona.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
(I) Se
(II) Se
(III) Se
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente analisar três afirmações sobre sequências numéricas e dizer se cada uma é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido aqui é sobre sequências monótonas, limitadas e convergentes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada termo significa e como eles se relacionam.
Passo 2
Afirmação I: “Se
é uma sequência monótona e limitada, então
é convergente.”
Vamos entender o que isso quer dizer. Uma sequência monótona é aquela que está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Limitada significa que todos os seus termos estão dentro de um certo intervalo. Existe um teorema que diz que toda sequência que é monótona e limitada é convergente, ou seja, ela tem um valor para o qual se aproxima conforme os termos aumentam. Então, essa afirmação é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: “Se
é uma sequência limitada, então
é convergente.”
Aqui, só sabemos que a sequência não “explode” para mais infinito ou menos infinito, mas não sabemos se ela está aumentando, diminuindo ou fazendo alguma coisa no meio. Um exemplo simples de sequência limitada que não converge é
, que oscila entre -1 e 1 sem se aproximar de um único número. Então, essa afirmação é falsa.
Passo 4
Afirmação III: “Se
é uma sequência convergente, então
é monótona.”
Se uma sequência converge, ela se aproxima de um certo valor conforme os termos avançam. Mas isso não significa que ela necessariamente está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Por exemplo, a sequência
converge para 0 e é monótona decrescente, mas a sequência
também converge para 0 enquanto oscila, não sendo monótona. Portanto, nem toda sequência convergente é monótona. Essa afirmação é falsa.
Resposta
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
Como vimos:
- Afirmação I: V
- Afirmação II: F
- Afirmação III: F
Portanto, a opção correta é V F F.
Exercícios relacionados
Leia com atenção as afirmações:
(I) A expansão em série de Taylor de , em torno de
, é
;
(II) A série de potências converge apenas para
;
(III) A expansão de , em torno do zero, é
.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
(I) A expansão em série de Taylor de
(II) A série de potências
(III) A expansão de
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
Considere as séries
e
, tais que
e
e leia com atenção as afirmações:
(I) Se , então ambas convergem;
(II) Se e se
converge, então
converge;
(III) Se e se
diverge, então
diverge.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[ ] VVV [ ] FFF [ ] FVF [ ] VFF [ ] VVF [ ] FVV [ ]FFV [ ]
(I) Se
(II) Se
(III) Se
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[ ] VVV [ ] FFF [ ] FVF [ ] VFF [ ] VVF [ ] FVV [ ]FFV [ ]
Encontre o volume do sólido delimitado por
. Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla.
Leia com atenção as afirmações:
(I) Ao derivarmos uma série de potências seu raio de convergência pode mudar;
(II) Ao derivarmos uma série de potências seu intervalo de convergência pode mudar;
(III) Ao integrarmos uma série de potências seu raio de convergência permanece o mesmo, mas seu intervalo de convergência pode mudar.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
(I) Ao derivarmos uma série de potências seu raio de convergência pode mudar;
(II) Ao derivarmos uma série de potências seu intervalo de convergência pode mudar;
(III) Ao integrarmos uma série de potências seu raio de convergência permanece o mesmo, mas seu intervalo de convergência pode mudar.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é: