Leia com atenção as afirmações:
(I) Se a_n é uma sequência monótona e limitada, então a_n é convergente;
(II) Se a_n é uma sequência limitada, então a_n é convergente;
(III) Se a_n é uma sequência convergente, então a_n é monótona.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
V V V F F F F V F V F F V V F F V V F F V V F V

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente analisar três afirmações sobre sequências numéricas e dizer se cada uma é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido aqui é sobre sequências monótonas, limitadas e convergentes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada termo significa e como eles se relacionam.

Passo 2

Afirmação I: “Se a_n é uma sequência monótona e limitada, então a_n é convergente.”
Vamos entender o que isso quer dizer. Uma sequência monótona é aquela que está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Limitada significa que todos os seus termos estão dentro de um certo intervalo. Existe um teorema que diz que toda sequência que é monótona e limitada é convergente, ou seja, ela tem um valor para o qual se aproxima conforme os termos aumentam. Então, essa afirmação é verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: “Se a_n é uma sequência limitada, então a_n é convergente.”
Aqui, só sabemos que a sequência não “explode” para mais infinito ou menos infinito, mas não sabemos se ela está aumentando, diminuindo ou fazendo alguma coisa no meio. Um exemplo simples de sequência limitada que não converge é , que oscila entre -1 e 1 sem se aproximar de um único número. Então, essa afirmação é falsa.

Passo 4

Afirmação III: “Se a_n é uma sequência convergente, então a_n é monótona.”
Se uma sequência converge, ela se aproxima de um certo valor conforme os termos avançam. Mas isso não significa que ela necessariamente está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Por exemplo, a sequência converge para 0 e é monótona decrescente, mas a sequência também converge para 0 enquanto oscila, não sendo monótona. Portanto, nem toda sequência convergente é monótona. Essa afirmação é falsa.

Resposta

A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
V V V F F F F V F V F F V V F F V V F F V V F V
Como vimos:
  • Afirmação I: V
  • Afirmação II: F
  • Afirmação III: F
Portanto, a opção correta é V F F.

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