Leia com atenção as afirmações:
(I) A expansão em série de Taylor de , em torno de , é ;
(II) A série de potências converge apenas para ;
(III) A expansão de , em torno do zero, é .
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão apresenta três afirmações sobre séries de Taylor e séries de potências. Nosso objetivo é verificar se cada uma dessas afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos precisar entender como construir séries de Taylor e analisar a convergência de séries de potências.

Passo 2

Afirmação I: A expansão em série de Taylor de , em torno de , é .
Vamos lembrar que a série de Taylor de uma função em torno de é dada por:
Para , a derivada de ordem é . Avaliando em :
Portanto, a série de Taylor fica:
Comparando com a afirmação, vemos que falta o fator 4 na expressão dada. Logo, a afirmação está falsa.

Passo 3

Afirmação II: A série de potências converge apenas para .
Para determinar o intervalo de convergência, usamos o Teste da Razão. Consideramos o limite:
onde . Calculando:
Quando , , então:
Para convergência, precisamos que :
Os extremos precisam ser verificados, mas a afirmação diz , o que está correto. Então, a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Afirmação III: A expansão de , em torno de zero, é .
Sabemos que a série geométrica básica é:
Derivando ambos os lados em relação a :
Portanto, a afirmação está verdadeira.

Resposta

Exercícios relacionados

Considere as séries e , tais que e e leia com atenção as afirmações:
(I) Se , então ambas convergem;
(II) Se e se converge, então converge;
(III) Se e se diverge, então diverge.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[ ] VVV [ ] FFF [ ] FVF [ ] VFF [ ] VVF [ ] FVV [ ]FFV [ ]
Em cada um dos Problemas de 1 a 6 , use a fórmula de Euler para escrever a expressão dada na forma .
Leia com atenção as afirmações:
(I) Se é uma sequência monótona e limitada, então é convergente;
(II) Se é uma sequência limitada, então é convergente;
(III) Se é uma sequência convergente, então é monótona.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
Encontre o volume do sólido delimitado por . Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla.