Leia com atenção as afirmações:
(I) A expansão em série de Taylor de f(x)=2^x, em torno de a=2, é sumn=0^infty (ln 2)^n(x-2)^nn!;
(II) A série de potências sumn=0^infty n(x-2)^n3^n converge apenas para x in[-1,5);
(III) A expansão de f(x)=1(1-x)^2, em torno do zero, é sumn=0^infty(n+1) x^n.
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[] V V V[] F F F [] F V F [] V F F [] V V F [] F V V [] F F V [] V F V

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão apresenta três afirmações sobre séries de Taylor e séries de potências. Nosso objetivo é verificar se cada uma dessas afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos precisar entender como construir séries de Taylor e analisar a convergência de séries de potências.

Passo 2

Afirmação I: A expansão em série de Taylor de f(x) = sumn=0^infty f^(n)(a)n! (x - a)^n , em torno de f^(n)(2) = (ln 2)^n 2^2 = (ln 2)^n cdot 4 , é f(x) = sumn=0^infty (ln 2)^n cdot 4n! (x - 2)^n .
Vamos lembrar que a série de Taylor de uma função em torno de é dada por:
Para , a derivada de ordem é . Avaliando em :
Portanto, a série de Taylor fica:
Comparando com a afirmação, vemos que falta o fator 4 na expressão dada. Logo, a afirmação está falsa.

Passo 3

Afirmação II: A série de potências L = limn to infty | an+1an | converge apenas para an+1an = (n+1)(x-2)^n+1/3^n+1n(x-2)^n/3^n = n+1n cdot x-23 .
Para determinar o intervalo de convergência, usamos o Teste da Razão. Consideramos o limite:
L = | x-23 |
onde | x-23 | < 1 implies -3 < x - 2 < 3 implies -1 < x < 5 . Calculando:
Quando , , então:
Para convergência, precisamos que :
Os extremos precisam ser verificados, mas a afirmação diz , o que está correto. Então, a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Afirmação III: A expansão de 11-x = sumn=0^infty x^n , em torno de zero, é 1(1-x)^2 = sumn=0^infty (n+1)x^n .
Sabemos que a série geométrica básica é:
Derivando ambos os lados em relação a :
Portanto, a afirmação está verdadeira.

Resposta

boxedF V V

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