Leia com atenção as afirmações:
(I) A expansão em série de Taylor de , em torno de , é ;
(II) A série de potências converge apenas para ;
(III) A expansão de , em torno do zero, é .
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão apresenta três afirmações sobre séries de Taylor e séries de potências. Nosso objetivo é verificar se cada uma dessas afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos precisar entender como construir séries de Taylor e analisar a convergência de séries de potências.
Passo 2
Afirmação I: A expansão em série de Taylor de , em torno de , é .
Vamos lembrar que a série de Taylor de uma função em torno de é dada por:
Para , a derivada de ordem é . Avaliando em :
Portanto, a série de Taylor fica:
Comparando com a afirmação, vemos que falta o fator 4 na expressão dada. Logo, a afirmação está falsa.
Passo 3
Afirmação II: A série de potências converge apenas para .
Para determinar o intervalo de convergência, usamos o Teste da Razão. Consideramos o limite:
onde . Calculando:
Quando , , então:
Para convergência, precisamos que :
Os extremos precisam ser verificados, mas a afirmação diz , o que está correto. Então, a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Afirmação III: A expansão de , em torno de zero, é .