Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(f)
, о eixo
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que surge quando a região delimitada pelas curvas
,
e
é girada em torno do eixo
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, mais especificamente o método de discos para volumes de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
-
: Essa é uma curva que relaciona e . -
: Isso representa o eixo . -
: É uma linha horizontal que corta o eixo no ponto 1.
A região que queremos girar está entre
(base) e
(limite superior) sobre a curva
.
Passo 3
Como vamos girar em torno do eixo
, o método de discos é apropriado aqui. A ideia é imaginar fatias fininhas do sólido na direção do eixo
. Cada fatia será um disco com raio igual a
e espessura
.
Passo 4
A fórmula para o volume de um disco é:
No nosso caso,
e a espessura é
. Então, o volume de cada disco é:
Passo 5
Para encontrar o volume total, vamos integrar
de
até
:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.