Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(f) , о eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que surge quando a região delimitada pelas curvas , e é girada em torno do eixo . Isso envolve conceitos de cálculo integral, mais especificamente o método de discos para volumes de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
: Essa é uma curva que relaciona e .
: Isso representa o eixo .
: É uma linha horizontal que corta o eixo no ponto 1.
A região que queremos girar está entre (base) e (limite superior) sobre a curva .
Passo 3
Como vamos girar em torno do eixo , o método de discos é apropriado aqui. A ideia é imaginar fatias fininhas do sólido na direção do eixo . Cada fatia será um disco com raio igual a e espessura .
Passo 4
A fórmula para o volume de um disco é:
No nosso caso, e a espessura é . Então, o volume de cada disco é:
Passo 5
Para encontrar o volume total, vamos integrar de até :