Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(f) x = y^(3/2), x = 0, y = 1, о eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que surge quando a região delimitada pelas curvas , e é girada em torno do eixo . Isso envolve conceitos de cálculo integral, mais especificamente o método de discos para volumes de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
  • : Essa é uma curva que relaciona e .
  • : Isso representa o eixo .
  • : É uma linha horizontal que corta o eixo no ponto 1.
A região que queremos girar está entre (base) e (limite superior) sobre a curva .

Passo 3

Como vamos girar em torno do eixo , o método de discos é apropriado aqui. A ideia é imaginar fatias fininhas do sólido na direção do eixo . Cada fatia será um disco com raio igual a e espessura .

Passo 4

A fórmula para o volume de um disco é:
No nosso caso, e a espessura é . Então, o volume de cada disco é:

Passo 5

Para encontrar o volume total, vamos integrar de até :

Passo 6

Vamos calcular a integral:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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