Encontre o volume do sólido limitado acima pelo plano e abaixo pela região do plano entre as curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado quer que a gente encontre o volume de um sólido que está acima do plano e abaixo de uma região no plano delimitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região no plano onde vamos calcular o volume. Isso significa que devemos encontrar onde as duas curvas se interceptam, ou seja, resolver . Isso nos dará os limites de integração para e .

Passo 3

Vamos resolver a equação de interseção:
Explicando, estamos igualando as duas funções de para encontrar os valores de onde elas se encontram.

Passo 4

Expandindo e simplificando a equação:

Passo 5

Juntando todos os termos na mesma lado da equação:
Podemos simplificar dividindo tudo por 2:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, ou .

Passo 7

Com os valores de em mãos, podemos determinar os limites de integração para vão de a .

Passo 8

Para cada valor de entre e , varia entre (parte de baixo) e (parte de cima). Isso define os limites de integração para .

Passo 9

Agora, vamos expressar o volume como uma integral dupla:
Aqui, é a função que define o plano superior.

Passo 10

Primeiro, vamos integrar em relação a :

Passo 11

Agora, substituímos os limites de :
Isso resulta em uma expressão em função de .

Passo 12

Simplificando a expressão resultante e integrando em relação a de a , obtemos o valor do volume.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, o volume do sólido é de [valor numérico final] unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Integre a função sobre a região limitada por e .
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante: