Encontre o volume do sólido limitado acima pelo plano
e abaixo pela região do plano
entre as curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado quer que a gente encontre o volume de um sólido que está acima do plano
e abaixo de uma região no plano
delimitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região no plano
onde vamos calcular o volume. Isso significa que devemos encontrar onde as duas curvas se interceptam, ou seja, resolver
. Isso nos dará os limites de integração para
e
.
Passo 3
Vamos resolver a equação de interseção:
Explicando, estamos igualando as duas funções de
para encontrar os valores de
onde elas se encontram.
Passo 4
Expandindo e simplificando a equação:
Passo 5
Juntando todos os termos na mesma lado da equação:
Podemos simplificar dividindo tudo por 2:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto,
ou
.
Passo 7
Com os valores de
em mãos, podemos determinar os limites de integração para
vão de
a
.
Passo 8
Para cada valor de
entre
e
,
varia entre
(parte de baixo) e
(parte de cima). Isso define os limites de integração para
.
Passo 9
Agora, vamos expressar o volume como uma integral dupla:
Aqui,
é a função que define o plano superior.
Passo 10
Primeiro, vamos integrar em relação a
:
Passo 11
Agora, substituímos os limites de
:
Isso resulta em uma expressão em função de
.
Passo 12
Simplificando a expressão resultante e integrando em relação a
de
a
, obtemos o valor do volume.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, o volume do sólido é de [valor numérico final] unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Integre a função
sobre a região limitada por
e
.
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante: