Vamos começar resumindo o problema. Precisamos calcular a integral da função sobre a região delimitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral em duas variáveis, especificamente integrais duplas, que nos permitem calcular volumes ou áreas sobre regiões bidimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região de integração. A primeira curva é , que é uma linha reta. A segunda curva é , que podemos reescrever para facilitar a análise:
Esta equação representa uma parábola que abre para a direita.
Passo 3
Para determinar os limites de integração, precisamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Igualando as expressões para :
Resolvendo essa equação para :
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Portanto, os valores de são:
Passo 4
Agora que sabemos que as curvas se intersectam nos pontos onde e , podemos estabelecer os limites de integração para . Para cada valor de nesse intervalo, varia da parábola até a reta .
Passo 5
Configuramos a integral dupla da função sobre a região descrita:
Passo 6
Vamos primeiro calcular a integral interna em relação a :