Integre a função sobre a região limitada por e .

Passo 1

Vamos começar resumindo o problema. Precisamos calcular a integral da função sobre a região delimitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral em duas variáveis, especificamente integrais duplas, que nos permitem calcular volumes ou áreas sobre regiões bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região de integração. A primeira curva é , que é uma linha reta. A segunda curva é , que podemos reescrever para facilitar a análise:
Esta equação representa uma parábola que abre para a direita.

Passo 3

Para determinar os limites de integração, precisamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Igualando as expressões para :
Resolvendo essa equação para :
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Portanto, os valores de são:

Passo 4

Agora que sabemos que as curvas se intersectam nos pontos onde e , podemos estabelecer os limites de integração para . Para cada valor de nesse intervalo, varia da parábola até a reta .

Passo 5

Configuramos a integral dupla da função sobre a região descrita:

Passo 6

Vamos primeiro calcular a integral interna em relação a :
Calculando nos limites:

Passo 7

Simplificando cada parte:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo as duas expressões:
Agora, a integral se reduz a:

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:
Portanto, a integral total é:

Passo 10

Agora, avaliamos nos limites de e :
Para :
Convertendo para denominadores comuns:
Então:
Para :
Convertendo para denominadores comuns:
Então:

Passo 11

Agora, subtraímos o valor em do valor em :

Resposta

O valor final da integral é .

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Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
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Encontre o volume do sólido limitado acima pelo plano e abaixo pela região do plano entre as curvas e .
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida: