Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma soma de duas integrais duplas e precisa reescrevê-las como uma única integral iterada, mudando a ordem de integração. Depois, a gente vai calcular o valor dessa integral resultante. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente sobre mudança da ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as integrais que você tem:
Aqui, y varia de 0 a 8 na primeira integral e de 8 a 12 na segunda. O x varia de 0 até na primeira parte e de até na segunda parte.

Passo 3

Vamos desenhar o domínio de integração no plano xy para visualizar melhor. A ideia é identificar os limites de x e y para reescrever a integral com a ordem invertida (primeiro integrar em y e depois em x).
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:

Passo 4

Agora, vamos mudar a ordem de integração. Precisamos encontrar os novos limites para x e y. Observando o domínio:
  1. O menor valor de x ocorre em 0 e o maior é .
  2. Para cada x entre 0 e 2, y varia de até quando , e de até para outros valores de x.
Portanto, a integral combinada fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro, integrando em relação a :
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos esse resultado em relação a de 0 a 2:
Calculando para :
Transformando para denominador comum (15):
Somando:

Resposta

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Encontre o volume do sólido limitado acima pelo plano e abaixo pela região do plano entre as curvas e .
Calcule as integrais abaixo:
a) Seja uma região de . Use a definição de integral dupla para explicar porque é a área de .