Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante: integral0^8 integral0^raizy / 3 y d x d y+integral8^12 integralraizy-8^raizy / 3 y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma soma de duas integrais duplas e precisa reescrevê-las como uma única integral iterada, mudando a ordem de integração. Depois, a gente vai calcular o valor dessa integral resultante. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente sobre mudança da ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as integrais que você tem:
integral0^8 integral0^raizy / 3 y , dx , dy + integral8^12 integralraizy - 8^raizy / 3 y , dx , dy
Aqui, y varia de 0 a 8 na primeira integral e de 8 a 12 na segunda. O x varia de 0 até na primeira parte e de até na segunda parte.

Passo 3

Vamos desenhar o domínio de integração no plano xy para visualizar melhor. A ideia é identificar os limites de x e y para reescrever a integral com a ordem invertida (primeiro integrar em y e depois em x).
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:

Passo 4

Agora, vamos mudar a ordem de integração. Precisamos encontrar os novos limites para x e y. Observando o domínio:
  1. O menor valor de x ocorre em 0 e o maior é integral0^2 integral3x^2^8 + x^2 y , dy , dx .
  2. Para cada x entre 0 e 2, y varia de até quando , e de até para outros valores de x.
Portanto, a integral combinada fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro, integrando integral3x^2^8 + x^2 y , dy = [ y^22 ]3x^2^8 + x^2 = (8 + x^2)^22 - (3x^2)^22 em relação a 64 + 16x^2 + x^42 - 9x^42 = 64 + 16x^2 - 8x^42 = 32 + 8x^2 - 4x^4 :
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos esse resultado em relação a integral0^2 (32 + 8x^2 - 4x^4) , dx = 32x + 8x^33 - 4x^55 gr|0^2 de 0 a 2:
32(2) + 8(2)^33 - 4(2)^55 = 64 + 643 - 1285
Calculando para 64 = 96015, 643 = 32015, 1285 = 38415 :
96015 + 32015 - 38415 = 89615
Transformando para denominador comum (15):
Somando:

Resposta

89615

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