Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma soma de duas integrais duplas e precisa reescrevê-las como uma única integral iterada, mudando a ordem de integração. Depois, a gente vai calcular o valor dessa integral resultante. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente sobre mudança da ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as integrais que você tem:
Aqui, y varia de 0 a 8 na primeira integral e de 8 a 12 na segunda. O x varia de 0 até na primeira parte e de até na segunda parte.
Passo 3
Vamos desenhar o domínio de integração no plano xy para visualizar melhor. A ideia é identificar os limites de x e y para reescrever a integral com a ordem invertida (primeiro integrar em y e depois em x).
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:
Passo 4
Agora, vamos mudar a ordem de integração. Precisamos encontrar os novos limites para x e y. Observando o domínio:
O menor valor de x ocorre em 0 e o maior é .
Para cada x entre 0 e 2, y varia de até quando , e de até para outros valores de x.
Portanto, a integral combinada fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna primeiro, integrando em relação a :
Simplificando:
Passo 6
Agora, integramos esse resultado em relação a de 0 a 2: