Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. Precisamos esboçar a região onde vamos integrar, inverter a ordem de integração da integral dupla e, por fim, calcular essa nova integral. Estamos lidando com a integral . Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a região de integração e como trocar a ordem dos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Olhando para os limites externos, varia de 0 a 2. Para cada valor de , varia de a . Essa expressão para sugere que estamos lidando com uma circunferência, já que . Portanto, a região de integração é a parte superior de um círculo de raio 2, centrado na origem, já que vai de 0 a 2.

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Originalmente, estamos integrando primeiro, de a , e depois de 0 a 2. Para inverter, precisamos determinar os novos limites para em termos de . Observando a região, para um dado , varia de 0 até . Além disso, varia de a 2.

Passo 4

Com os novos limites, a integral invertida fica: . Agora vamos calcular essa integral iterada. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Vamos calcular essa integral:

Passo 6

Calculando nos limites:
Para :
Para :

Passo 7

Subtraindo os valores:

Resposta

A integral iterada invertida é igual a .

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