Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida: integral0^2 integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2 y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. Precisamos esboçar a região onde vamos integrar, inverter a ordem de integração da integral dupla e, por fim, calcular essa nova integral. Estamos lidando com a integral . Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a região de integração e como trocar a ordem dos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Olhando para os limites externos, varia de 0 a 2. Para cada valor de , varia de a . Essa expressão para sugere que estamos lidando com uma circunferência, já que . Portanto, a região de integração é a parte superior de um círculo de raio 2, centrado na origem, já que vai de 0 a 2.

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Originalmente, estamos integrando primeiro, de a , e depois de 0 a 2. Para inverter, precisamos determinar os novos limites para em termos de . Observando a região, para um dado , varia de 0 até . Além disso, varia de a 2.

Passo 4

Com os novos limites, a integral invertida fica: integral0^raiz4 - x^2 y , dy = [ y^22 ]0^raiz4 - x^2 = (raiz4 - x^2)^22 = 4 - x^22 . Agora vamos calcular essa integral iterada. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral-2^2 4 - x^22 , dx = 12 integral-2^2 (4 - x^2) , dx
Vamos calcular essa integral:
12 [ 4x - x^33 ]-2^2

Passo 6

Calculando nos limites:
Para 4(2) - (2)^33 = 8 - 83 = 243 - 83 = 163 :
4(-2) - (-2)^33 = -8 - (-83) = -8 + 83 = -243 + 83 = -163
Para :

Passo 7

Subtraindo os valores:
12 ( 163 - (-163) ) = 12 ( 323 ) = 163

Resposta

A integral iterada invertida é igual a .

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