Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. Precisamos esboçar a região onde vamos integrar, inverter a ordem de integração da integral dupla e, por fim, calcular essa nova integral. Estamos lidando com a integral
. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a região de integração e como trocar a ordem dos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Olhando para os limites externos,
varia de 0 a 2. Para cada valor de
,
varia de
a
. Essa expressão para
sugere que estamos lidando com uma circunferência, já que
. Portanto, a região de integração é a parte superior de um círculo de raio 2, centrado na origem, já que
vai de 0 a 2.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Originalmente, estamos integrando
primeiro, de
a
, e depois
de 0 a 2. Para inverter, precisamos determinar os novos limites para
em termos de
. Observando a região, para um dado
,
varia de 0 até
. Além disso,
varia de
a 2.
Passo 4
Com os novos limites, a integral invertida fica:
. Agora vamos calcular essa integral iterada. Primeiro, integramos
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Vamos calcular essa integral:
Passo 6
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Passo 7
Subtraindo os valores:
Resposta
A integral iterada invertida é igual a
.
Exercícios relacionados
Encontre o volume do sólido limitado acima pelo plano
e abaixo pela região do plano
entre as curvas
e
.
Integre a função
sobre a região limitada por
e
.
Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante:
Calcule as integrais abaixo: