Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
; em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o volume de um sólido que é formado ao girar uma região delimitada pelas curvas
,
e
em torno do eixo
. Isso envolve o estudo de cálculo de volumes de sólidos de revolução, e vamos usar o método dos discos para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A curva
é uma parábola que se abre para cima. A reta
é uma linha vertical que corta a parábola, e
é o eixo
. Ao desenhar essas curvas, vemos que a região delimitada está entre
e
, de
até
(quando
).
Passo 3
Como estamos girando a região em torno do eixo
, o método dos discos é uma boa escolha. Esse método consiste em imaginar fatias cilíndricas fininhas (discos) perpendiculares ao eixo de rotação e somar seus volumes.
Passo 4
Vamos expressar
em função de
para facilitar a integração. Da equação
, isolamos
:
O volume de um disco é dado por
, onde
é o raio do disco. Neste caso,
.
Passo 5
Agora, configuramos a integral para calcular o volume total:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Calculando a integral:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região dada em torno do eixo
é
unidades cúbicas.