Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos. ; em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o volume de um sólido que é formado ao girar uma região delimitada pelas curvas , e em torno do eixo . Isso envolve o estudo de cálculo de volumes de sólidos de revolução, e vamos usar o método dos discos para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A curva é uma parábola que se abre para cima. A reta é uma linha vertical que corta a parábola, e é o eixo . Ao desenhar essas curvas, vemos que a região delimitada está entre e , de até (quando ).
Passo 3
Como estamos girando a região em torno do eixo , o método dos discos é uma boa escolha. Esse método consiste em imaginar fatias cilíndricas fininhas (discos) perpendiculares ao eixo de rotação e somar seus volumes.
Passo 4
Vamos expressar em função de para facilitar a integração. Da equação , isolamos :
O volume de um disco é dado por , onde é o raio do disco. Neste caso, .
Passo 5
Agora, configuramos a integral para calcular o volume total:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Calculando a integral:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região dada em torno do eixo é unidades cúbicas.