Resolva os seguintes sistema de EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) que você me passou. A matéria envolvida aqui é sobre sistemas lineares de EDOs com condições iniciais. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, além de aplicar a solução geral de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs em forma de matriz. Isso ajuda a visualizar melhor e aplicar técnicas de resolução mais facilmente. O sistema dado é:
Podemos representar esse sistema como:
onde
e

Passo 3

Agora, para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores (λ) da matriz A. Isso é feito resolvendo o determinante da matriz igual a zero:
Calculando:
Expandindo:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática , encontramos os autovalores:
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada um.
Para :
Resolvemos :
Isso dá a equação , então podemos escolher , logo:
Para :
Resolvemos :
Isso dá a equação , ou seja, . Escolhendo :

Passo 6

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema:
Substituindo os valores encontrados:
Isso nos dá as equações:

Passo 7

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar as constantes e . A condição inicial dada é:
Substituindo nas equações:

Passo 8

Vamos resolver o sistema de equações para e :
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Então:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução particular do sistema de EDOs é:
Ou, de forma expandida:

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j)