Resolva os seguintes sistema de EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
lx1^prime=5 x1-x2 x2^prime=3 x1+x2 ; x(0)=[c2 -1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) que você me passou. A matéria envolvida aqui é sobre sistemas lineares de EDOs com condições iniciais. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, além de aplicar a solução geral de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs em forma de matriz. Isso ajuda a visualizar melhor e aplicar técnicas de resolução mais facilmente. O sistema dado é:
x1' = 5x1 - x2 x2' = 3x1 + x2
Podemos representar esse sistema como:
x' = Ax
onde
A = 5 & -1 3 & 1
e
x = x1 x2

Passo 3

Agora, para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores (λ) da matriz A. Isso é feito resolvendo o determinante da matriz det(A - lambda I) = 0 igual a zero:
det 5 - lambda & -1 3 & 1 - lambda = (5 - lambda)(1 - lambda) - (-1)(3) = (5 - lambda)(1 - lambda) + 3 = 0
Calculando:
(5)(1) -5lambda - lambda + lambda^2 + 3 = lambda^2 -6lambda +8 = 0
Expandindo:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática lambda = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 82 = 6 pm raiz36 -322 = 6 pm 22 , encontramos os autovalores:
lambda1 = 4 e lambda2 = 2
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada um.
Para 1 & -1 3 & -3 v1 v2 = 0 0 :
Resolvemos v1 = 1 1 :
3 & -1 3 & -1 v1 v2 = 0 0
Isso dá a equação v2 = 1 3 , então podemos escolher , logo:
Para :
Resolvemos :
Isso dá a equação , ou seja, . Escolhendo :

Passo 6

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema:
x(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2
Substituindo os valores encontrados:
x(t) = C1 e^4t 1 1 + C2 e^2t 1 3
Isso nos dá as equações:
x1(t) = C1 e^4t + C2 e^2t
x2(t) = C1 e^4t + 3C2 e^2t

Passo 7

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar as constantes x(0) = 2 -1 e x1(0) = C1 + C2 = 2 . A condição inicial dada é:
x2(0) = C1 + 3C2 = -1
Substituindo nas equações:

Passo 8

Vamos resolver o sistema de equações para e :
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Então:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução particular do sistema de EDOs é:
x(t) = 72 e^4t 1 1 - 32 e^2t 1 3
Ou, de forma expandida:
x1(t) = 72 e^4t - 32 e^2t
x2(t) = 72 e^4t - 92 e^2t

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