Resolva os seguintes sistema de EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) com duas funções,
e
, que dependem do tempo
. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente os autovalores e autovetores de matrizes, que nos ajudarão a resolver esse sistema de forma organizada.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs de uma forma mais matemática usando matrizes. O sistema que você deu é:
Podemos expressar isso na forma matricial
, onde:
Passo 3
Para resolver esse sistema, vamos encontrar os autovalores (
) da matriz
. Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante da matriz
igual a zero, onde
é a matriz identidade. Ou seja:
Calculando isso:
Expandindo:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos um autovalor duplo:
.
Passo 5
Como temos um autovalor repetido (
), precisamos encontrar os autovetores associados. Resolvemos
:
Isso resulta em
, ou simplificando,
. Podemos escolher
, então um autovetor é
.
Passo 6
Como o autovalor é repetido e temos apenas um autovetor, precisamos encontrar um autovetor generalizado. Resolvemos
:
Resolvendo, temos
e
. A partir da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Então,
pode ser qualquer número. Escolhemos
, então
. Logo, o autovetor generalizado é
.
Passo 7
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Como temos um autovalor múltiplo com um autovetor generalizado, a solução geral é:
Substituindo os valores encontrados:
Isso resulta em:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.