Resolva os seguintes sistema de EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) com duas funções, e , que dependem do tempo . Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente os autovalores e autovetores de matrizes, que nos ajudarão a resolver esse sistema de forma organizada.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs de uma forma mais matemática usando matrizes. O sistema que você deu é:
Podemos expressar isso na forma matricial , onde:
Passo 3
Para resolver esse sistema, vamos encontrar os autovalores () da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante da matriz igual a zero, onde é a matriz identidade. Ou seja:
Calculando isso:
Expandindo:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática . Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos um autovalor duplo: .
Passo 5
Como temos um autovalor repetido (), precisamos encontrar os autovetores associados. Resolvemos :
Isso resulta em , ou simplificando, . Podemos escolher , então um autovetor é .
Passo 6
Como o autovalor é repetido e temos apenas um autovetor, precisamos encontrar um autovetor generalizado. Resolvemos :
Resolvendo, temos e . A partir da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, pode ser qualquer número. Escolhemos , então . Logo, o autovetor generalizado é .
Passo 7
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Como temos um autovalor múltiplo com um autovetor generalizado, a solução geral é: