Encontre o Wronskiano de cada um dos seguintes conjuntos de funções:
a. {e^(2 x), e^(-x / 2)},

Passo 1

Beleza, a gente precisa encontrar o Wronskiano do conjunto de funções {e^(2 x), e^(-x / 2)}. O Wronskiano é uma ferramenta que ajuda a verificar se um conjunto de funções é linearmente independente. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e montar uma matriz específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o Wronskiano para duas funções. Se temos duas funções f(x) e g(x), o Wronskiano é dado por:
Isso significa que a gente monta uma matriz com as funções e suas derivadas, e depois calcula o determinante dessa matriz.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das funções que temos:
  1. Para :
  2. Para :

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz do Wronskiano com as funções e suas derivadas:
Para calcular o determinante dessa matriz, fazemos:
Simplificando:

Resposta

O Wronskiano do conjunto de funções é:

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