Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o limite de quando
se aproxima de 0. A matéria envolvida é cálculo de limites, e pra resolver isso, vamos precisar entender como o seno se comporta e usar algumas propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, lembra que a função seno é sempre limitada entre -1 e 1, ou seja:
Isso é super útil porque nos dá um intervalo para a expressão que estamos observando.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por
. Como
é sempre positivo (porque qualquer número real elevado a uma potência par é positivo), a desigualdade mantém a mesma direção:
Passo 4
O próximo passo é analisar o que acontece com
e
quando
se aproxima de 0. Sabemos que:
Ou seja, ambos os limites são iguais a zero.
Passo 5
Como a nossa expressão está “presa” entre
e
, e ambos os limites desses extremos são zero, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), podemos concluir que:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine as séries de Fourier das funções abaixo (definidas em um período):
Calcule o valor de cada limite a seguir, se o mesmo existir.
q) (sugestão: tome
).
q)
Encontre o Wronskiano de cada um dos seguintes conjuntos de funções:
a. ,
a.
Se o Wronskiano das funções
e
é
, com
, determine se
e
são linearmente independentes (l.i.) ou linearmente dependentes (l.d.).