Prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o limite de quando se aproxima de 0. A matéria envolvida é cálculo de limites, e pra resolver isso, vamos precisar entender como o seno se comporta e usar algumas propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, lembra que a função seno é sempre limitada entre -1 e 1, ou seja:
Isso é super útil porque nos dá um intervalo para a expressão que estamos observando.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por . Como é sempre positivo (porque qualquer número real elevado a uma potência par é positivo), a desigualdade mantém a mesma direção:

Passo 4

O próximo passo é analisar o que acontece com e quando se aproxima de 0. Sabemos que:
Ou seja, ambos os limites são iguais a zero.

Passo 5

Como a nossa expressão está “presa” entre e , e ambos os limites desses extremos são zero, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), podemos concluir que:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Determine as séries de Fourier das funções abaixo (definidas em um período):
Calcule o valor de cada limite a seguir, se o mesmo existir.
q) (sugestão: tome ).
Encontre o Wronskiano de cada um dos seguintes conjuntos de funções:
a. ,
Se o Wronskiano das funções e é , com , determine se e são linearmente independentes (l.i.) ou linearmente dependentes (l.d.).