Prove que lim x 0 x^4 sen(1raiz[3]x)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o limite de quando se aproxima de 0. A matéria envolvida é cálculo de limites, e pra resolver isso, vamos precisar entender como o seno se comporta e usar algumas propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, lembra que a função seno é sempre limitada entre -1 e 1, ou seja:
Isso é super útil porque nos dá um intervalo para a expressão que estamos observando.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por - x^4 <= x^4 cdot sen(1raiz[3]x) <= x^4 . Como é sempre positivo (porque qualquer número real elevado a uma potência par é positivo), a desigualdade mantém a mesma direção:

Passo 4

O próximo passo é analisar o que acontece com limx to 0 -x^4 = 0 e limx to 0 x^4 = 0 e quando se aproxima de 0. Sabemos que:
Ou seja, ambos os limites são iguais a zero.

Passo 5

Como a nossa expressão está “presa” entre limx to 0 x^4 cdot sen(1raiz[3]x) = 0 e , e ambos os limites desses extremos são zero, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), podemos concluir que:

Resposta

O limite é igual a .

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