Determine as séries de Fourier das funções abaixo (definidas em um período):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a série de Fourier da função
definida no intervalo
. Séries de Fourier nos ajudam a expressar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes de Fourier para essa função específica.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber qual tipo de série de Fourier vamos usar. Como a função
é par (ou seja,
), podemos simplificar as coisas usando apenas os cossenos na série. Então, nossa série de Fourier vai ter a forma:
Aqui,
é o termo constante e
são os coeficientes dos cossenos.
Passo 3
Vamos calcular o termo
. Esse termo representa a média da função no intervalo. A fórmula para
é:
Substituindo
(já que
é positivo no intervalo):
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos
e
.
Passo 5
Aplicando a integração por partes:
Agora, substituímos na fórmula de integração por partes
:
A segunda integral é:
Então, juntando tudo:
Avaliaremos de 0 a 1:
Substituindo
e
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 6
Voltando ao cálculo de
:
Podemos simplificar isso notando que
é:
- Para
par: - Para
ímpar:
Então, os coeficientes
são zero para
par e
para
ímpar.
Resposta
A série de Fourier da função
no intervalo
é dada por: