Determine as séries de Fourier das funções abaixo (definidas em um período):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a série de Fourier da função definida no intervalo . Séries de Fourier nos ajudam a expressar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes de Fourier para essa função específica.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber qual tipo de série de Fourier vamos usar. Como a função é par (ou seja, ), podemos simplificar as coisas usando apenas os cossenos na série. Então, nossa série de Fourier vai ter a forma:
Aqui, é o termo constante e são os coeficientes dos cossenos.
Passo 3
Vamos calcular o termo . Esse termo representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Substituindo (já que é positivo no intervalo):
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Substituindo :
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos e .
Passo 5
Aplicando a integração por partes:
Agora, substituímos na fórmula de integração por partes :
A segunda integral é:
Então, juntando tudo:
Avaliaremos de 0 a 1:
Substituindo e :
Sabemos que e , então:
Passo 6
Voltando ao cálculo de :
Podemos simplificar isso notando que é:
Para par:
Para ímpar:
Então, os coeficientes são zero para par e para ímpar.
Resposta
A série de Fourier da função no intervalo é dada por: