Um pedestre de
caminha em direção a um poste de luz de
de altura, a uma velocidade de
. Encontre a velocidade com que sua sombra varia de ângulo quando ele está a 10 m do poste.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um pedestre de 2 metros que está andando em direção a um poste de luz de 5 metros a uma velocidade de 1 m/s. A gente precisa descobrir quão rápido o ângulo da sombra do pedestre está mudando quando ele está a 10 metros do poste. Vamos usar conceitos de taxas relacionadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a situação. O poste de luz tem 5 metros de altura e o pedestre tem 2 metros. Conforme ele se aproxima do poste, a sombra dele se alonga. Vamos chamar a distância do pedestre ao poste de
, que está mudando com o tempo. A velocidade do pedestre é
(negativa porque ele está se aproximando).
Passo 3
Agora, vamos relacionar as alturas e as distâncias usando triângulos semelhantes. A altura do poste e a distância total (pedestre mais sombra) formam um triângulo grande, e a altura do pedestre e sua sombra formam um triângulo menor. A proporção fica:
Resolvendo para
(a sombra):
Passo 4
Queremos encontrar como o ângulo
da sombra está mudando. Podemos usar a tangente desse ângulo:
Substituindo
:
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação ao tempo
:
Sabemos que
. Substituindo:
Passo 5
Agora, basta substituir
metros na equação:
Resposta
A velocidade com que o ângulo da sombra varia quando o pedestre está a 10 metros do poste é de:
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
(a) .
(a)
Use as aproximações de Taylor para encontrar uma aproximação para
com um erro que não excede
.
Considere a função
(a) Determine .
(b) Determine o domínio de .
(a) Determine
(b) Determine o domínio de
Encontre
se
.