Um pedestre de caminha em direção a um poste de luz de de altura, a uma velocidade de . Encontre a velocidade com que sua sombra varia de ângulo quando ele está a 10 m do poste.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um pedestre de 2 metros que está andando em direção a um poste de luz de 5 metros a uma velocidade de 1 m/s. A gente precisa descobrir quão rápido o ângulo da sombra do pedestre está mudando quando ele está a 10 metros do poste. Vamos usar conceitos de taxas relacionadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a situação. O poste de luz tem 5 metros de altura e o pedestre tem 2 metros. Conforme ele se aproxima do poste, a sombra dele se alonga. Vamos chamar a distância do pedestre ao poste de , que está mudando com o tempo. A velocidade do pedestre é (negativa porque ele está se aproximando).

Passo 3

Agora, vamos relacionar as alturas e as distâncias usando triângulos semelhantes. A altura do poste e a distância total (pedestre mais sombra) formam um triângulo grande, e a altura do pedestre e sua sombra formam um triângulo menor. A proporção fica:
Resolvendo para (a sombra):

Passo 4

Queremos encontrar como o ângulo da sombra está mudando. Podemos usar a tangente desse ângulo:
Substituindo :
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação ao tempo :
Sabemos que . Substituindo:

Passo 5

Agora, basta substituir metros na equação:

Resposta

A velocidade com que o ângulo da sombra varia quando o pedestre está a 10 metros do poste é de:

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites:
(a) .
Use as aproximações de Taylor para encontrar uma aproximação para com um erro que não excede .
Considere a função
(a) Determine .
(b) Determine o domínio de .
Encontre se .