Um fio na forma de um loop quadrado é colocado no plano x-y com seu centro na origem e cada um dos lados em paralelo aos ei xos x ou y. Cada lado tem 40 cm de comprimento e o fio é percorrido por uma corrente de 5 A , cujo sentido é o horário quando o loop é visto de cima. Calcule o campo magnético no centro do loop.
Resp. H=-z 4 Iraiz2 pi l=-z 11,25 A / m

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Utilizados
Temos um fio em forma de loop quadrado colocado no plano com centro na origem. Cada lado do quadrado mede 40 cm e a corrente que passa pelo fio é de 5 A, com sentido horário quando visto de cima. Nosso objetivo é calcular o campo magnético no centro do loop.
Conteúdo da Matéria:
  • Lei de Biot-Savart: utilizada para calcular o campo magnético gerado por uma corrente elétrica.
  • Simetria de um loop quadrado: ajuda a simplificar os cálculos ao considerar contribuições iguais de cada lado.
O que vamos precisar:
  • Fórmula da Lei de Biot-Savart.
  • Conhecimento sobre cálculo vetorial e simetria geométrica.

Passo 2

Entendendo a Lei de Biot-Savart
A Lei de Biot-Savart nos permite calcular o campo magnético H = I4pi integral dl times r|r|^3 gerado por um elemento de corrente em uma posição específica. A fórmula é:
Onde:
  • é o elemento de comprimento do fio.
  • é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto onde queremos calcular o campo.
  • A integral é realizada ao longo de todo o percurso da corrente.

Passo 3

Aplicando a Simetria do Loop Quadrado
Como o loop é quadrado e colocado no plano com centro na origem, a contribuição de cada lado para o campo magnético no centro será igual em magnitude, mas com direções que se somam de forma consistente.
Devido à simetria, podemos calcular o campo gerado por um único lado e multiplicar pelo número de lados (4).

Passo 4

Calculando o Campo de um Lado do Quadrado
Considerando um dos lados do quadrado:
  • Comprimento do lado Hum lado = I4pi cdot 2 cdot l(l/raiz2)^2 + (l/raiz2)^2 .
  • A distância do meio do lado até o centro é Hum lado = I4pi cdot 2 cdot l2 cdot (l/raiz2)^2 = I4pi cdot 2 cdot ll^2 = I2pi l , devido à geometria de 45 graus do quadrado.
Aplicando a Lei de Biot-Savart para um segmento reto, o campo magnético no centro é dado por:
Simplificando:

Passo 5

Calculando o Campo Total no Centro do Loop
Como temos 4 lados iguais contribuindo para o campo, o campo total H = 4 cdot Hum lado = 4 cdot I2pi l = 4I2pi l = 2Ipi l será:
H = 2 cdot 5pi cdot 0,4 = 101,256 approx 7,96 , A/m
Substituindo os valores:
Direção do Campo:
Como a corrente é no sentido horário visto de cima, usando a regra da mão direita, o campo magnético resultante no centro estará na direção negativa do eixo .

Resposta

H = -z cdot 4Iraiz2 pi l approx -z cdot 11,25 , A/m

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