Seja f: R -> R, onde f(x) = x^2. Mostre que f é contínua em R.

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisa provar que ela é contínua em todos os números reais ( ). Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade de funções e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de for igual a . Em termos matemáticos, isso é escrito como:
Então, precisamos mostrar que isso vale para qualquer em .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Isso porque, conforme se aproxima de , se aproxima de .

Passo 4

Vamos comparar o limite que achamos com :
Perceba que:
Isso confirma que a condição para continuidade está satisfeita.

Resposta

Portanto, a função é contínua em todos os números reais .

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y' = 3 y
Seja f: I -> R uma função. Diz-se que f é uma função lipschitziana se existir um K > 0 tal que para todo x, y in I implicar |f(x) - f(y)| <= K |x - y|. Mostre que toda função lipschitziana é contínua.
Cosidere a seguinte função
h(x)=lcc x^2-4x-2 & se & x<2 a x^2-b x+3 & & se 2 <= x<3 2 x-a+b & se & x >= 3
Determine a e b de forma que
lim x 2^- h(x)=lim x 2^+ h(x) e lim x 3^- h(x)=lim x 3^+ h(x)