Seja f: R -> R, onde f(x) = x^2. Mostre que f é contínua em R.

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisa provar que ela é contínua em todos os números reais ( ). Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade de funções e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de for igual a . Em termos matemáticos, isso é escrito como:
Então, precisamos mostrar que isso vale para qualquer em .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Isso porque, conforme se aproxima de , se aproxima de .

Passo 4

Vamos comparar o limite que achamos com :
Perceba que:
Isso confirma que a condição para continuidade está satisfeita.

Resposta

Portanto, a função é contínua em todos os números reais .

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