Seja
, onde
. Mostre que
é contínua em
.
Passo 1
Então, a gente tem a função
e precisa provar que ela é contínua em todos os números reais (
). Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade de funções e propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual a
. Em termos matemáticos, isso é escrito como:
Então, precisamos mostrar que isso vale para qualquer
em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Isso porque, conforme
se aproxima de
,
se aproxima de
.
Passo 4
Vamos comparar o limite que achamos com
:
Perceba que:
Isso confirma que a condição para continuidade está satisfeita.
Resposta
Portanto, a função
é contínua em todos os números reais
.