Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' + 4y' + 3y = 0 con y(0) = 2 e y'(0) = -3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: com as condições iniciais e . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação característica e encontrar as raízes dela para montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma , a equação característica é . No nosso caso, e , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Podemos fatorar a equação:
Então, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, usando :
Então, temos:
Agora, derivamos para encontrar :
Aplicando :
Então:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações formado pelas equações (1) e (2).
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Agora, substituindo na equação (1):

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales: -2 y'' + 7 y = 0
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' + 4y = 4x + 8
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
t) f(x) = e^(x cos(x))