Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales:
con
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
com as condições iniciais
e
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação característica e encontrar as raízes dela para montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma
, a equação característica é
. No nosso caso,
e
, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Podemos fatorar a equação:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, usando
:
Então, temos:
Agora, derivamos
para encontrar
:
Aplicando
:
Então:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações formado pelas equações (1) e (2).
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Agora, substituindo
na equação (1):
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales:
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
t)
t)