Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: y'' + 4y = 4x + 8

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral que é a soma da solução da parte homogênea ( ) e uma solução particular da equação completa. Vamos precisar usar métodos de solução de equações diferenciais como a solução complementar e a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: . Para isso, encontramos as raízes da equação característica associada:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) da equação completa . Observamos que o lado direito é uma função polinomial de primeiro grau. Portanto, propomos uma solução particular da forma:
Onde e são constantes a serem determinados.

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para os termos com :
Para os termos constantes:
Portanto, a solução particular é:

Passo 6

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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