Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral que é a soma da solução da parte homogênea (
) e uma solução particular da equação completa. Vamos precisar usar métodos de solução de equações diferenciais como a solução complementar e a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
. Para isso, encontramos as raízes da equação característica associada:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) da equação completa
. Observamos que o lado direito é uma função polinomial de primeiro grau. Portanto, propomos uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem determinados.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para os termos com
:
Para os termos constantes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 6
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales:
con
e
Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales:
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
t)
t)
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: