(Enem 2020 - adaptado) O governador de um estado propōe a ampliaçäo de investimentos em segurança no transporte realizado por meio de trens. Um estudo para um projeto de lei prevê que se tenha a presença de duas agentes mulheres, distribuidas entre os 5 vagōes de uma composiçăo, de forma que duas dessas agentes nāo estejam ên vagōes adjacentes, garantindo assim maior segurança aos usuários. A expressão que representa a quantidade de maneiras distintas das duas agentes serem distribuidas nos vagőes é
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício fala sobre como distribuir duas agentes mulheres em 5 vagões de um trem, garantindo que elas não fiquem em vagões adjacentes. A matéria que vamos usar é combinação, que ajuda a contar de quantas maneiras podemos escolher itens sem se importar com a ordem. Precisamos entender como aplicar isso para evitar que as agentes fiquem lado a lado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular quantas maneiras existem de colocar as duas agentes nos 5 vagões sem nenhuma restrição. Para isso, usamos a combinação
, que representa o número de maneiras de escolher 2 vagões entre 5. A fórmula da combinação é:
Aplicando:
Então, sem restrições, há 10 maneiras de distribuir as agentes.
Passo 3
Agora, vamos calcular quantas dessas maneiras têm as duas agentes em vagões adjacentes. Se as agentes estão juntas, podemos pensar nelas como uma única “unidade”. Com 5 vagões, isso significa que temos 4 possibilidades para essa unidade:
- Vagões 1 e 2
- Vagões 2 e 3
- Vagões 3 e 4
- Vagões 4 e 5
Portanto, há 4 maneiras de as agentes ficarem adjacentes.
Passo 4
Para encontrar o número de maneiras em que as agentes não ficam adjacentes, subtraímos as maneiras indesejadas das maneiras totais:
Então, há 6 maneiras de distribuir as duas agentes nos 5 vagões sem que elas fiquem lado a lado.
Resposta
A quantidade de maneiras distintas é
, ou seja, 6.
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b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)
Calcule o limite usando as propriedades adequadas de limites.