Calcule o limite usando as propriedades adequadas de limites.
lim x 4 3 x^2-8 x-162 x^2-9 x+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções racionais. O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 4 da função . Para isso, vamos usar as propriedades dos limites, que nos permitem simplificar a expressão para encontrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece se substituirmos 3(4)^2 - 8(4) - 162(4)^2 - 9(4) + 4 = 48 - 32 - 1632 - 36 + 4 = 00 diretamente na expressão:
Como resultou em , que é uma indeterminação, precisamos simplificar a fração.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador 3x^2 - 12x + 4x - 16 = 3x(x - 4) + 4(x - 4) = (3x + 4)(x - 4) . Procuramos dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são e .
Reescrevendo o numerador:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador 2x^2 - 8x - x + 4 = 2x(x - 4) - 1(x - 4) = (2x - 1)(x - 4) . Procuramos dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são e .
Reescrevendo o denominador:

Passo 5

Agora que fatoramos numerador e denominador, podemos simplificar a fração cancelando o termo (3x + 4)(x - 4)(2x - 1)(x - 4) = 3x + 42x - 1 :
3(4) + 42(4) - 1 = 12 + 48 - 1 = 167
Agora, calculamos o limite substituindo :

Resposta

167

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