A energia de Gibbs molar média de uma mistura de dois enantiomorfos (isômeros ópticos do mesmo composto) em uma temperatura constante T é dada por
onde é a fração molar de um dos enantiomorfos. é uma constante, é a constante dos gases ideais, e T é a temperatura constante. Qual é a concentração de cada enantiomorfo quando atinge seu valor mínimo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a concentração de cada enantiômero quando a energia de Gibbs da mistura atinge seu valor mínimo. Estamos trabalhando com termodinâmica, especificamente com a energia de Gibbs em uma mistura de dois enantiômeros a temperatura constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como minimizar a energia de Gibbs em relação à fração molar de um dos enantiômeros.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a expressão da energia de Gibbs molar média fornecida:
Aqui, é uma constante, é a constante dos gases ideais, é a temperatura constante, e é a fração molar de um dos enantiômeros.

Passo 3

Para encontrar o valor de que minimiza , precisamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero. Ou seja, vamos calcular .
Vamos calcular a derivada:
Simplificando os termos:
Os termos e se cancelam:

Passo 4

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto de mínimo:
Podemos dividir ambos os lados por (já que e são diferentes de zero):
Usando a propriedade dos logaritmos que diz :

Passo 5

Para resolver , lembramos que . Então, temos:
No entanto, observando melhor, isso não é possível porque e são frações molaras que somam 1, então seus produtos máximos são menores que 1. Parece que houve um erro na simplificação anterior. Vamos corrigir isso.
Na verdade, implica que:
Mas isso não é possível porque para . Então, devemos reavaliar nossa derivada.
Voltando à derivada correta:
Então,

Passo 6

Se , então:
Resolvendo para :

Resposta

A concentração de cada enantiômero quando a energia de Gibbs atinge seu valor mínimo é . Ou seja, cada enantiômero está presente na fração molar de 50%.

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