A energia de Gibbs molar média de uma mistura de dois enantiomorfos (isômeros ópticos do mesmo composto) em uma temperatura constante T é dada por
onde
é a fração molar de um dos enantiomorfos.
é uma constante,
é a constante dos gases ideais, e T é a temperatura constante. Qual é a concentração de cada enantiomorfo quando
atinge seu valor mínimo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a concentração de cada enantiômero quando a energia de Gibbs da mistura atinge seu valor mínimo. Estamos trabalhando com termodinâmica, especificamente com a energia de Gibbs em uma mistura de dois enantiômeros a temperatura constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como minimizar a energia de Gibbs em relação à fração molar
de um dos enantiômeros.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a expressão da energia de Gibbs molar média fornecida:
Aqui,
é uma constante,
é a constante dos gases ideais,
é a temperatura constante, e
é a fração molar de um dos enantiômeros.
Passo 3
Para encontrar o valor de
que minimiza
, precisamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. Ou seja, vamos calcular
.
Vamos calcular a derivada:
Simplificando os termos:
Os termos
e
se cancelam:
Passo 4
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto de mínimo:
Podemos dividir ambos os lados por
(já que
e
são diferentes de zero):
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
:
Passo 5
Para resolver
, lembramos que
. Então, temos:
No entanto, observando melhor, isso não é possível porque
e
são frações molaras que somam 1, então seus produtos máximos são menores que 1. Parece que houve um erro na simplificação anterior. Vamos corrigir isso.
Na verdade,
implica que:
Mas isso não é possível porque
para
. Então, devemos reavaliar nossa derivada.
Voltando à derivada correta:
Então,
Passo 6
Se
, então:
Resolvendo para
:
Resposta
A concentração de cada enantiômero quando a energia de Gibbs atinge seu valor mínimo é
. Ou seja, cada enantiômero está presente na fração molar de 50%.
Exercícios relacionados
Resolvendo, em R, as seguintes equações exponenciais:
Represente sobre uma reta orientada os seguintes números racionais:
e
Suponha que um país A tem uma renda per capita anual de 20000 dólares e uma população de 50 milhões de habitantes. Um outro país B tem uma renda per capita de 10000 dólares e uma população de 20 milhões. Se os dois países se fundirem para formar um novo país, qual será o valor da nova renda per capita?
Resolvendo, em R, as seguintes equações exponenciais: