Se a energia de um mol de um gás é dada pela relação
, com
uma constate, qual a equação da adiabática no plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a energia de um mol de gás, dada por
, onde
é uma constante. O que a gente precisa descobrir é a equação adiabática no plano
. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre processos adiabáticos e a relação entre energia interna, pressão e volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um processo adiabático. É um processo onde não há troca de calor com o ambiente, ou seja,
. Na termodinâmica, a primeira lei diz que:
Como
no processo adiabático, temos:
Isso significa que qualquer variação na energia interna
está relacionada apenas ao trabalho feito pelo sistema.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variação da energia interna
. Dado que
, a derivada total de
em relação a
é:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 4
Segundo a equação do processo adiabático que vimos no Passo 2:
Igualando as duas expressões para
:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos dividir todos os termos por
(desde que
):
Agora, vamos reunir os termos que contêm
:
Fatorando
do lado direito:
Passo 6
Agora, separamos as variáveis
e
para integrar:
Integrando ambos os lados:
Passo 7
Para integrar o lado esquerdo, precisamos de uma relação entre
e
. No entanto, sem uma relação explícita entre
e
, a integração direta fica complicada. Podemos assumir que durante o processo adiabático,
é constante, então podemos reorganizar a equação para expressar
em termos de
ou vice-versa.
Vamos tentar expressar a equação de maneira mais simples. Dividindo ambos os lados por
:
Isso nos dá uma equação diferencial que podemos integrar.
Passo 8
Rearranjando a equação:
Dividindo por
:
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Passo 9
Integrando:
No entanto, observamos que ainda temos
dentro da integral, o que sugere que precisamos de uma relação adicional ou uma suposição para resolver completamente. Para simplificar, podemos assumir que a relação adiabática pode ser expressa na forma
.
Passo 10
Assumindo que
, derivamos:
Dividindo por
:
Integrando:
O que resulta em:
Passo 11
Comparando com a nossa equação inicial, identificamos que o valor de
está relacionado à forma da energia interna
. Portanto, a equação adiabática no plano
é:
Onde
depende da relação específica dada para
.
Resposta
A equação adiabática no plano
é
, onde
é determinado pela relação
.