Se a energia de um mol de um gás é dada pela relação U=A P^2 V, com A uma constate, qual a equação da adiabática no plano P-V.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a energia de um mol de gás, dada por , onde é uma constante. O que a gente precisa descobrir é a equação adiabática no plano . Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre processos adiabáticos e a relação entre energia interna, pressão e volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um processo adiabático. É um processo onde não há troca de calor com o ambiente, ou seja, De. Na termodinâmica, a primeira lei diz que:
De
Como no processo adiabático, temos:
Isso significa que qualquer variação na energia interna está relacionada apenas ao trabalho feito pelo sistema.

Passo 3

Agora, vamos calcular a variação da energia interna dU = partial Upartial P dP + partial Upartial V dV . Dado que partial Upartial P = 2 A P V , a derivada total de partial Upartial V = A P^2 em relação a dU = 2 A P V dP + A P^2 dV é:
Calculando as derivadas parciais:
Então:

Passo 4

Segundo a equação do processo adiabático que vimos no Passo 2:
dU = -P dV
Igualando as duas expressões para 2 A P V dP + A P^2 dV = -P dV :

Passo 5

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos dividir todos os termos por 2 A V dP + A P dV = -dV (desde que 2 A V dP = -dV - A P dV ):
2 A V dP = - (1 + A P) dV
Agora, vamos reunir os termos que contêm :
Fatorando do lado direito:

Passo 6

Agora, separamos as variáveis 2 A V1 + A P dP = - dV e integral 2 A V1 + A P dP = - integral dV para integrar:
Integrando ambos os lados:

Passo 7

Para integrar o lado esquerdo, precisamos de uma relação entre 2 A dP = - 1 + A PV dV e . No entanto, sem uma relação explícita entre e , a integração direta fica complicada. Podemos assumir que durante o processo adiabático, é constante, então podemos reorganizar a equação para expressar em termos de ou vice-versa.
Vamos tentar expressar a equação de maneira mais simples. Dividindo ambos os lados por :
Isso nos dá uma equação diferencial que podemos integrar.

Passo 8

Rearranjando a equação:
2 A dP = - 1V dV - A PV dV
Dividindo por 2 dP = - 1A V dV - PV dV :
integral 2 dP = - integral 1A V dV - integral PV dV
Agora, vamos integrar ambos os lados:

Passo 9

Integrando:
2 P = - 1A ln V - integral PV dV + C
No entanto, observamos que ainda temos dentro da integral, o que sugere que precisamos de uma relação adicional ou uma suposição para resolver completamente. Para simplificar, podemos assumir que a relação adiabática pode ser expressa na forma .

Passo 10

Assumindo que dP V^n + P n V^n-1 dV = 0 , derivamos:
dPP + n dVV = 0
Dividindo por ln P + n ln V = constante :
P V^n = constante
Integrando:
O que resulta em:

Passo 11

Comparando com a nossa equação inicial, identificamos que o valor de P V^n = constante está relacionado à forma da energia interna . Portanto, a equação adiabática no plano é:
Onde depende da relação específica dada para .

Resposta

A equação adiabática no plano é , onde é determinado pela relação .

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