A energia nuclear, derivada de isótopos radiativos, pode ser usada em veículos espaciais para fornecer potência. Fontes de energia nuclear perdem potência gradualmente com o tempo, o que pode ser descrito pela função exponencial
, onde
é a potência instantânea em watts,
é a potência inicial do veículo,
é o tempo em dias e
é a base dos logaritmos neperianos. Quantos dias são necessários, aproximadamente, para que a potência de um veículo espacial seja reduzida a um quarto da potência inicial? (Dado:
).
Passo 1
Vamos resolver um problema sobre energia nuclear em veículos espaciais. A questão nos diz que a potência de um veículo diminui com o tempo seguindo uma função exponencial. Precisamos descobrir quantos dias levam para a potência cair para um quarto da potência inicial. Para isso, vamos usar matemática exponencial e logaritmos naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula fornecida:
Aqui:
- $ P $ é a potência em qualquer momento $ t $.
- $ P_{0} $ é a potência inicial.
- $ e $ é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,718).
- $ t $ é o tempo em dias.
Queremos encontrar o tempo $ t $ quando $ P = \frac{P_{0}}{4} $.
Passo 3
Substituímos $ P $ na fórmula:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ P_{0} $:
Passo 4
Agora, para resolver essa equação para $ t $, vamos usar o logaritmo natural. Aplicamos o ln em ambos os lados:
Sabemos que $ \ln(e^x) = x $, então simplificamos o lado direito:
Passo 5
Calculamos $ \ln\left(\frac{1}{4}\right) $. Sabemos que:
Então:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1:
Passo 6
Agora, isolamos $ t $:
Sabemos que $ \ln(4) = 2 \ln(2) $. Dado que $ \ln(2) \approx 0,693 $:
Então:
Passo 7
Calculamos o valor de $ t $:
Resposta
São necessários aproximadamente 0,55 dias para que a potência do veículo espacial seja reduzida a um quarto da potência inicial.