A energia nuclear, derivada de isótopos radiativos, pode ser usada em veículos espaciais para fornecer potência. Fontes de energia nuclear perdem potência gradualmente com o tempo, o que pode ser descrito pela função exponencial P=P0 e^-2,5 t, onde P é a potência instantânea em watts, P0 é a potência inicial do veículo, t é o tempo em dias e e é a base dos logaritmos neperianos. Quantos dias são necessários, aproximadamente, para que a potência de um veículo espacial seja reduzida a um quarto da potência inicial? (Dado: ln 2 approx 0,693 ).

Passo 1

Vamos resolver um problema sobre energia nuclear em veículos espaciais. A questão nos diz que a potência de um veículo diminui com o tempo seguindo uma função exponencial. Precisamos descobrir quantos dias levam para a potência cair para um quarto da potência inicial. Para isso, vamos usar matemática exponencial e logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula fornecida:
P = P0 e^-2,5 t
Aqui:
  • $ P $ é a potência em qualquer momento $ t $.
  • $ P_{0} $ é a potência inicial.
  • $ e $ é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,718).
  • $ t $ é o tempo em dias.
Queremos encontrar o tempo $ t $ quando $ P = \frac{P_{0}}{4} $.

Passo 3

Substituímos $ P $ na fórmula:
P
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ P_{0} $:
P04 = P0 e^-2,5 t

Passo 4

Agora, para resolver essa equação para $ t $, vamos usar o logaritmo natural. Aplicamos o ln em ambos os lados:
t
Sabemos que $ \ln(e^x) = x $, então simplificamos o lado direito:
ln(14) = ln(e^-2,5 t)

Passo 5

Calculamos $ \ln\left(\frac{1}{4}\right) $. Sabemos que:
ln(14)
Então:
ln(14) = ln(1) - ln(4) = 0 - ln(4) = -ln(4)
Podemos multiplicar ambos os lados por -1:
-ln(4) = -2,5 t

Passo 6

Agora, isolamos $ t $:
t
Sabemos que $ \ln(4) = 2 \ln(2) $. Dado que $ \ln(2) \approx 0,693 $:
t = ln(4)2,5
Então:
ln(4) = 2 ln(2)

Passo 7

Calculamos o valor de $ t $:
t

Resposta

São necessários aproximadamente 0,55 dias para que a potência do veículo espacial seja reduzida a um quarto da potência inicial.

Exercícios relacionados