Um gato (massa 2 m ) dorme em uma tábua (massa m ) de comprimento L presa por dois barbantes nas extremidades. O gato esta em uma posição de 3 / 4 L.
Calcule a tração em cada barbante. (aproxime o gato a um ponto).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um gato com massa 2m dormindo em uma tábua que tem massa m e comprimento L. A tábua está presa nas duas extremidades por barbantes. O gato está posicionado a $ \frac{3}{4}L $ de uma das extremidades. Nosso objetivo é calcular a tração em cada barbante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio estático, que envolvem somar forças e torques para garantir que o sistema esteja parado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando no sistema:
  1. Peso da tábua: $ P_{tábua} = m \cdot g $
  2. Peso do gato: $ P_{gato} = 2m \cdot g $
  3. Trações nos barbantes: Vamos chamar de $ T_1 $ (esquerdo) e $ T_2 $ (direito)
Como o sistema está em equilíbrio, a soma das forças verticais deve ser zero e a soma dos torques (momentos) também deve ser zero.

Passo 3

Vamos começar pela soma das forças verticais:
T1 + T2 = Ptábua + Pgato = m cdot g + 2m cdot g = 3m cdot g á
Então, temos:
T1 + T2 = 3m cdot g (1)

Passo 4

Agora, vamos calcular a soma dos torques. Escolhemos um ponto de referência para facilitar os cálculos. Vamos usar o ponto onde o barbante esquerdo está preso como nosso pivô.
As distâncias relevantes são:
  • Tácio $ T_2 $ está a uma distância $ L $ do pivô.
  • Peso do gato está a $ \frac{3}{4}L $ do pivô.
  • Peso da tábua está a $ \frac{L}{2} $ do pivô (centro da tábua).
A soma dos torques horários deve ser igual à soma dos torques anti-horários:
T2 á
Substituindo os valores dos pesos:
L

Passo 5

Vamos simplificar a equação acima:
T2 cdot L = ( 6m cdot g4 )L + ( m cdot g2 )L
T2 cdot L = 6m cdot g + 2m cdot g4 cdot L
T2 cdot L = 8m cdot g4 cdot L
T2 cdot L = 2m cdot g cdot L
Agora, podemos dividir ambos os lados por $ L $ para encontrar $ T_2 $:
L

Passo 6

Com o valor de $ T_2 $ encontrado, voltamos à equação (1) para encontrar $ T_1 $:
T2
T1
T1 + 2m cdot g = 3m cdot g

Resposta

A tração nos barbantes é:
T1 = m cdot g e T2 = 2m cdot g

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