Um gato (massa
) dorme em uma tábua (massa
) de comprimento
presa por dois barbantes nas extremidades. O gato esta em uma posição de
.
Calcule a tração em cada barbante. (aproxime o gato a um ponto).
Calcule a tração em cada barbante. (aproxime o gato a um ponto).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um gato com massa
dormindo em uma tábua que tem massa
e comprimento
. A tábua está presa nas duas extremidades por barbantes. O gato está posicionado a $ \frac{3}{4}L $ de uma das extremidades. Nosso objetivo é calcular a tração em cada barbante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio estático, que envolvem somar forças e torques para garantir que o sistema esteja parado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando no sistema:
- Peso da tábua: $ P_{tábua} = m \cdot g $
- Peso do gato: $ P_{gato} = 2m \cdot g $
- Trações nos barbantes: Vamos chamar de $ T_1 $ (esquerdo) e $ T_2 $ (direito)
Como o sistema está em equilíbrio, a soma das forças verticais deve ser zero e a soma dos torques (momentos) também deve ser zero.
Passo 3
Vamos começar pela soma das forças verticais:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a soma dos torques. Escolhemos um ponto de referência para facilitar os cálculos. Vamos usar o ponto onde o barbante esquerdo está preso como nosso pivô.
As distâncias relevantes são:
- Tácio $ T_2 $ está a uma distância $ L $ do pivô.
- Peso do gato está a $ \frac{3}{4}L $ do pivô.
- Peso da tábua está a $ \frac{L}{2} $ do pivô (centro da tábua).
A soma dos torques horários deve ser igual à soma dos torques anti-horários:
Substituindo os valores dos pesos:
Passo 5
Vamos simplificar a equação acima:
Agora, podemos dividir ambos os lados por $ L $ para encontrar $ T_2 $:
Passo 6
Com o valor de $ T_2 $ encontrado, voltamos à equação (1) para encontrar $ T_1 $:
Resposta
A tração nos barbantes é: