Ache o máximo e o mínimo absolutos da função na região
. (Esboce
.)
d)
.
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os máximos e mínimos absolutos da função
na região
, que é um quadrado com lados de -3 a 3 tanto para
quanto para
. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, encontrando pontos críticos dentro da região e também verificando nas bordas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região
. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 3
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Resolvendo a equação (2) para
:
Substituindo
na equação (1):
Então,
. O ponto crítico é
.
Passo 6
Vamos verificar se esse ponto está dentro da região
. Como
e
, está dentro da região.
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto crítico:
Passo 8
Em seguida, precisamos verificar os valores da função nas bordas da região
. As bordas são onde
,
,
e
.
Passo 9
Vamos começar fixando
e variar
de -3 a 3:
Essa é uma parábola em
que atinge seu mínimo no vértice
:
Os extremos nessa borda são
e, calculando para
:
Passo 10
Agora, fixamos
e variamos
de -3 a 3:
Essa parábola tem mínimo em
:
Os extremos nessa borda são
e, calculando para
:
Passo 11
Agora, vamos fixar
e variar
de -3 a 3:
Essa parábola em
tem mínimo em
:
Os extremos nessa borda são
e, calculando para
:
Passo 12
Por último, fixamos
e variamos
de -3 a 3:
Essa parábola tem mínimo em
:
Os extremos nessa borda são
e, calculando para
:
Resposta
Após analisar todos os pontos críticos e as bordas da região
, encontramos que:
- O mínimo absoluto da função
é no ponto . - O máximo absoluto da função
é no ponto .
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Calcule o volume do sólido dado. Limitado superiormente pela esfera e inferiormente pelo paraboloide
.
Calcule o volume do sólido dado. Limitado superiormente pela esfera
Encontre o máximo e o mínimo de
no compacto
.
a) e
.
a)
Encontre, caso existam, os valores máximo e mínimo de
em
, bem como os pontos onde estes valores são assumidos:
c) e
e
.
c)