Na engenharia de produtos, é importante considerar os pesos das pessoas, de modo a evitar sobrecargas (aviões, elevadores) ou falhas (cadeiras que se quebram). Dado que a população de homens dos EUA tem pesos distribuídos normalmente com média
e desvio-padrão
, determinar a probabilidade de em 36 homens escolhidos aleatoriamente, o peso médio ser superior a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como calcular a probabilidade de que, em um grupo de 36 homens escolhidos aleatoriamente nos EUA, o peso médio seja maior que 81,65 kg. A matéria envolvida aqui é probabilidade e distribuição normal, que são fundamentais para entender como os dados se comportam quando seguimos certos padrões. Para resolver isso, vamos precisar entender a média, o desvio-padrão e usar a distribuição normal padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Média populacional (μ): 78,47 kg
- Desvio-padrão populacional (σ): 13,61 kg
- Tamanho da amostra (n): 36 homens
- Peso médio desejado (X̄): 81,65 kg
Passo 3
Como a distribuição dos pesos é normal, a média das amostras também seguirá uma distribuição normal. A média das amostras (μₓ̄) será igual à média populacional, ou seja, 78,47 kg.
Passo 4
Precisamos calcular o desvio-padrão da média das amostras (σₓ̄). Isso é feito dividindo o desvio-padrão populacional pela raiz quadrada do tamanho da amostra. A fórmula é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média das amostras seja maior que 81,65 kg. Para isso, usamos a transformação Z, que nos ajuda a encontrar essa probabilidade na distribuição normal padrão. A fórmula para Z é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Com o valor de Z calculado, precisamos encontrar a probabilidade correspondente na tabela da distribuição normal padrão. O valor Z = 1,402 nos dá a área à esquerda dessa pontuação. Como queremos a probabilidade de ser superior a 81,65 kg, vamos calcular:
Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos que:
Portanto:
Resposta
A probabilidade de que, em 36 homens escolhidos aleatoriamente, o peso médio seja superior a 81,65 kg é aproximadamente 8,08%.