Na engenharia de produtos, é importante considerar os pesos das pessoas, de modo a evitar sobrecargas (aviões, elevadores) ou falhas (cadeiras que se quebram). Dado que a população de homens dos EUA tem pesos distribuídos normalmente com média 78,47 kg e desvio-padrão 13,61 kg, determinar a probabilidade de em 36 homens escolhidos aleatoriamente, o peso médio ser superior a 81,65 kg.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como calcular a probabilidade de que, em um grupo de 36 homens escolhidos aleatoriamente nos EUA, o peso médio seja maior que 81,65 kg. A matéria envolvida aqui é probabilidade e distribuição normal, que são fundamentais para entender como os dados se comportam quando seguimos certos padrões. Para resolver isso, vamos precisar entender a média, o desvio-padrão e usar a distribuição normal padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Média populacional (μ): 78,47 kg
  • Desvio-padrão populacional (σ): 13,61 kg
  • Tamanho da amostra (n): 36 homens
  • Peso médio desejado (X̄): 81,65 kg

Passo 3

Como a distribuição dos pesos é normal, a média das amostras também seguirá uma distribuição normal. A média das amostras (μₓ̄) será igual à média populacional, ou seja, 78,47 kg.

Passo 4

Precisamos calcular o desvio-padrão da média das amostras (σₓ̄). Isso é feito dividindo o desvio-padrão populacional pela raiz quadrada do tamanho da amostra. A fórmula é:
sigmabarX = sigmaraizn
Substituindo os valores:
sigmabarX = 13,61raiz36 = 13,616 approx 2,268 , kg

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média das amostras seja maior que 81,65 kg. Para isso, usamos a transformação Z, que nos ajuda a encontrar essa probabilidade na distribuição normal padrão. A fórmula para Z é:
Z = barX - mubarXsigmabarX
Substituindo os valores:
Z = 81,65 - 78,472,268 = 3,182,268 approx 1,402

Passo 6

Com o valor de Z calculado, precisamos encontrar a probabilidade correspondente na tabela da distribuição normal padrão. O valor Z = 1,402 nos dá a área à esquerda dessa pontuação. Como queremos a probabilidade de ser superior a 81,65 kg, vamos calcular:
P(barX > 81,65) = 1 - P(Z <= 1,402)
Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos que:
P(Z <= 1,402) approx 0,9192
Portanto:
P(barX > 81,65) = 1 - 0,9192 = 0,0808

Resposta

A probabilidade de que, em 36 homens escolhidos aleatoriamente, o peso médio seja superior a 81,65 kg é aproximadamente 8,08%.

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