Um lote contém 50 peças boas e 5 defeituosas. Se 10 peças forem selecionadas ao acaso com reposição deste lote, e X denota o número de peças defeituosas entre as selecionadas, calcule a média e a variância da variável X. R.: 5 ; 4,55
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um lote com 50 peças boas e 5 defeituosas, totalizando 55 peças. A gente vai selecionar 10 peças desse lote, com reposição (ou seja, depois de pegar uma peça, ela volta pro lote antes da próxima seleção). A variável aleatória X representa o número de peças defeituosas que vamos tirar nas 10 seleções. Nosso objetivo é calcular a média e a variância dessa variável X. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial, já que as seleções são independentes e com reposição.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a probabilidade de sucesso, ou seja, a probabilidade de tirar uma peça defeituosa em uma única seleção. Como temos 5 defeituosas em um total de 55 peças, essa probabilidade é:
Passo 3
Agora que sabemos a probabilidade de tirar uma peça defeituosa, vamos lembrar que a distribuição binomial é adequada aqui porque:
- Cada seleção é independente (devido à reposição).
- Existem apenas dois resultados possíveis em cada seleção: defeituosa ou não defeituosa.
- A probabilidade de sucesso (tirar uma defeituosa) é constante em cada seleção.
A distribuição binomial é definida por dois parâmetros: n (número de tentativas) e p (probabilidade de sucesso em cada tentativa). No nosso caso, n = 10 e p = 1/11.
Passo 4
A média (ou valor esperado) de uma variável binomial é calculada pela fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 5
A variância de uma variável binomial é calculada por:
Vamos substituir os valores:
Resposta
A média de X é aproximadamente 0,909 e a variância é aproximadamente 0,826.