Um lote contém 50 peças boas e 5 defeituosas. Se 10 peças forem selecionadas ao acaso com reposição deste lote, e X denota o número de peças defeituosas entre as selecionadas, calcule a média e a variância da variável X. R.: 5 ; 4,55

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um lote com 50 peças boas e 5 defeituosas, totalizando 55 peças. A gente vai selecionar 10 peças desse lote, com reposição (ou seja, depois de pegar uma peça, ela volta pro lote antes da próxima seleção). A variável aleatória X representa o número de peças defeituosas que vamos tirar nas 10 seleções. Nosso objetivo é calcular a média e a variância dessa variável X. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial, já que as seleções são independentes e com reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a probabilidade de sucesso, ou seja, a probabilidade de tirar uma peça defeituosa em uma única seleção. Como temos 5 defeituosas em um total de 55 peças, essa probabilidade é:
p = 555 = 111 approx 0,0909

Passo 3

Agora que sabemos a probabilidade de tirar uma peça defeituosa, vamos lembrar que a distribuição binomial é adequada aqui porque:
  1. Cada seleção é independente (devido à reposição).
  2. Existem apenas dois resultados possíveis em cada seleção: defeituosa ou não defeituosa.
  3. A probabilidade de sucesso (tirar uma defeituosa) é constante em cada seleção.
A distribuição binomial é definida por dois parâmetros: n (número de tentativas) e p (probabilidade de sucesso em cada tentativa). No nosso caso, n = 10 e p = 1/11.

Passo 4

A média (ou valor esperado) de uma variável binomial é calculada pela fórmula:
mu = n times p
Substituindo os valores:
mu = 10 times 111 = 1011 approx 0,909

Passo 5

A variância de uma variável binomial é calculada por:
sigma^2 = n times p times (1 - p)
Vamos substituir os valores:
sigma^2 = 10 times 111 times (1 - 111) = 10 times 111 times 1011 = 100121 approx 0,826

Resposta

A média de X é aproximadamente 0,909 e a variância é aproximadamente 0,826.

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