O tempo gasto no atendimento dos clientes de uma loja de roupas segue uma distribuição exponencial cuja média é de 15 minutos.
b) Qual o valor de theta para que um cliente seja atendido em no máximo theta minutos com 98 % de probabilidade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o tempo que um cliente leva para ser atendido em uma loja de roupas, que segue uma distribuição exponencial com média de 15 minutos. A gente precisa descobrir qual valor de garante que um cliente seja atendido em, no máximo, minutos com 98% de probabilidade. Então, vamos usar os conceitos de distribuição exponencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na distribuição exponencial, a média é igual a lambda = 115 , onde é a taxa de atendimento. Como a média é 15 minutos, temos:

Passo 3

Agora, vamos usar a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial, que nos dá a probabilidade de que o tempo de atendimento seja menor ou igual a um certo valor P(X <= theta) = 1 - e^-lambda theta . A fórmula da CDF é:
1 - e^-lambda theta = 0,98
Queremos que essa probabilidade seja 98%, ou seja:

Passo 4

Vamos isolar a parte exponencial da equação. Subtraindo 1 de ambos os lados:
- e^-lambda theta = -0,02
E multiplicando por -1:
e^-lambda theta = 0,02

Passo 5

Para resolver para - lambda theta = ln(0,02) , vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 6

Agora, isolamos theta = -ln(0,02)lambda :
theta = -ln(0,02) times 15
Substituindo :

Passo 7

Vamos calcular o valor numérico:
ln(0,02) approx -3,9120
Então:
theta = -(-3,9120) times 15 approx 58,68 minutos

Resposta

O valor de é aproximadamente 58,7 minutos.

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